Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]．
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求實數λ的值；
（3）設g（x）=sin（x+

π

3

），若方程3[g（x）]²-g（x）+m=0在x∈（-

π

3

，

2π

3

）內有兩個不同的解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：函數的性質及應用,平面向量及應用

分析：（1）直接利用向量的數量積的坐標表示可求

a

•

b

，由|

a

+

b

|=

( a + b )2

，化簡后代人向量的坐標可求
（2）由（1）可求得f（x），然后結合x∈[0，

π

2

]可求cosx的范圍，然后結合對稱軸與[0，1]的位置關系可求函數f（x）的最小值，進而可求λ
（3）由x∈（-

π

3

，

2π

3

）可求sin（x+

1

3

π）的范圍，設g（x）=t，原問題等價于方程3t²-t+m=0在（0，1）只有一個根或兩個相等根，結合二次函數的實根分布即可求解

解答： 解：（1）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

∵x∈[0，

π

2

]
∴cosx≥0
∴|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos 3x 2 cos x 2 -2sin 3x 2 sin x 2

=

2+2cos2x

=

2•2cos2x

=2|cosx|=2cosx
（2）由（1）可得f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1
=2（cosx-λ）²-1-2λ²
∵x∈[0，

π

2

]
∴1≥cosx≥0
①當λ＜0時，當cosx=0
②當0≤λ≤1時，當cosx=λ時，f（x）取得最小值-1-2λ²
由已知-1-2λ²=-

3

2

，解得λ=

1

2

③當λ＞1時，當cosx=1時，f（x）取得最小值1-4λ
由已知1-4λ=-

3

2

可得λ=

5

8

，與λ＞1矛盾
綜上所述，λ=

1

2

（3）∵x∈（-

π

3

，

2π

3

）
∴x+

1

3

π∈（0，π）
∴0＜sin(x+

1

3

π)≤1
設g（x）=t，問題等價于方程3t²-t+m=0在（0，1）只有一個根或兩個相等根
設h（t）=3t²-t+m
∴

h(0)≤0 h(1)＞0

或h（

1

6

）=0
∴

m≤0 2+m≥0

或

1

12

-

1

6

+m=0
∴-2＜m≤0或m=

1

12

綜上可得m的范圍-2＜m≤0或m=

1

12

點評：本題主要考查了向量數量積的坐標表示，二次函數性質的應用及二次函數閉區(qū)間上最值的求解，體現了分類討論思想的應用．