三棱錐
,底面
為邊長為
的正三角形,平面
平面
,
,
為
上一點(diǎn),
,
為底面三角形中心.
(Ⅰ)求證
∥面
;
(Ⅱ)求證:
;
(Ⅲ)設(shè)
為
中點(diǎn),求二面角
的余弦值.
試題分析:(Ⅰ)連結(jié)
交
于點(diǎn)
,連結(jié)
.
為正三角形
的中心,∴
,
且
為
中點(diǎn).又
, ∴
∥
,
平面
,
平面
∴
∥面
.
(Ⅱ)
,且
為
中點(diǎn), ∴
,
又平面
平面
,
∴
平面
,
由(Ⅰ)知,
∥
,
∴
平面
,∴
連結(jié)
,則
,又
,
∴
平面
,∴
.
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,
兩兩互相垂直,且
為
中點(diǎn),所以分別以
所在直線為
軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖
,則
∴
設(shè)平面
的法向量為
,則
,
令
,則
.
由(Ⅱ)知
平面
,∴
為平面
的法向量,
∴
,
由圖可知,二面角
的余弦值為
.
點(diǎn)評:本題考查直線與平面的平行的判斷,在與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,二面角的求法,考查空間想象能力與計(jì)算能力,以及邏輯推理能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在幾何體
中,
平面
,
,
是等腰直角三角形,
,且
,點(diǎn)
是
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:
平面
;
(Ⅱ)求
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1,則側(cè)棱與底面所成的角為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如果三個(gè)平面把空間分成六個(gè)部分,那么這三個(gè)平面的位置關(guān)系是 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)m,n是不同的直線,
是不同的平面,下列命題中正確的是
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
關(guān)于直線
與平面
,有以下四個(gè)命題:
①若
且
,則
; ②若
且
,則
;
③若
且
,則
; ④若
且
,則
;
其中真命題的序號是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知平面
,直線
,下列命題中不正確的是 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知
為空間四邊形
的邊
上的點(diǎn),且
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在正方體
中,
是
的中點(diǎn).
(1)求證:
平面
;
(2)求證:平面
平面
.
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