精英家教網(wǎng)如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn),且AD=PD=2MA.
(Ⅰ)求證:平面EFG⊥平面PDC;
(Ⅱ)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比.
分析:(I)欲證平面EFG⊥平面PDC,根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面EFG內(nèi)一直線與平面PDC垂直,而根據(jù)線面垂直的判定定理可知GF⊥平面PDC,GF∈平面EFG,滿足定理?xiàng)l件;
(II)不妨設(shè)MA=1,求出PD=AD,得到Vp-ABCD=
1
3
S正方形ABCD,求出PD,根據(jù)DA⊥面MAB,所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離,根據(jù)三棱錐的體積公式求出體積得到V P-MAB:V P-ABCD的比值.
解答:解:(I)證明:由已知MA⊥平面ABCD,PD∥MA,
所以PD⊥平面ABCD
又BC∈平面ABCD,
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,
所以PD⊥BC
又PD∩DC=D,
因此BC⊥平面PDC
在△PBC中,因?yàn)镚、F分別是PB、PC中點(diǎn),
所以GF∥BC
因此GF⊥平面PDC
又GF∈平面EFG,
所以平面EFG⊥平面PDC;
(Ⅱ)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,
四邊形ABCD為正方形,不妨設(shè)MA=1,
則PD=AD=2,所以Vp-ABCD=
1
3
S正方形ABCD,PD=
8
3

由于DA⊥面MAB的距離
所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離,
三棱錐Vp-MAB=
1
3
×
1
2
×1×2×2=
2
3
,
所以VP-MAB:VP-ABCD=1:4.
點(diǎn)評:本小題主要考查空間中的線面關(guān)系,考查線面垂直、面面垂直的判定及幾何體體積的計(jì)算,考查試圖能力和邏輯思維能力.
練習(xí)冊系列答案
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在如圖所示的幾何體中,平面ACE⊥平面ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ACB=90°,EF∥BC,AC=BC=
2
,AE=EC=1.
(Ⅰ)求證:AE⊥平面BCEF;
(Ⅱ)求三棱錐D-ACF的體積.

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(2012•朝陽區(qū)一模)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EF=1,BC=
13
,且M是BD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EM∥平面ADF;
(Ⅱ)在EB上是否存在一點(diǎn)P,使得∠CPD最大?若存在,請求出∠CPD的正切值;若不存在,請說明理由.

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(2010•吉安二模)如圖所示的幾何體中,底面ABCD是矩形,AB=9,BC=6,EF∥平面ABCD,EF=3,△ADE和△BCF
都是正三角形,則幾何體EFABCD的體積為
63
2
63
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•西城區(qū)一模)在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AC=
3
,AB=2BC=2,AC⊥FB.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面FBC;
(Ⅱ)求四面體FBCD的體積;
(Ⅲ)線段AC上是否存在點(diǎn)M,使EA∥平面FDM?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在如圖所示的幾何體中,AE⊥平面ABC,CD∥AE,F(xiàn)是BE的中點(diǎn),AC=BC=1,∠ACB=90°,AE=2CD=2.
(1)證明:DF⊥平面ABE;
(2)求二面角A-BD-F大小的余弦值.

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