Question

【題目】已知函數(shù)f（ ）=﹣ x3+ x2﹣m，g（x）=﹣ x3+mx2+（a+1）x+2xcosx﹣m．
（1）若曲線y=f（x）僅在兩個不同的點A（x1 ， f（x1）），B（x1 ， f（x2））處的切線都經(jīng)過點（2，t），求證：t=3m﹣8，或t=﹣ m3+ m2﹣m．
（2）當x∈[0，1]時，若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：由f（ ）=﹣ x3+ x2﹣m，可得f（x）=﹣x3+mx2﹣m，

f′（x）=﹣3x2+2mx，可得A處的切線方程：y﹣（﹣x13+mx12﹣m）=（﹣3x12+2mx）（x﹣x1），

同理可得B處的切線方程：y﹣（﹣x23+mx22﹣m）=（﹣3x22+2mx）（x﹣x2），

代入點（2，t），可得x1，x2為方程t﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的兩個不等實根，

化簡整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m﹣t=0，

令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m﹣t，g′（x）=6x2﹣2（m+6）x+4m=2（3x﹣m）（x﹣2），

由g′（x）=0，可得x=2或x= ．

g（2）=3m﹣8﹣t，g（ ）=﹣ m3+ m2﹣m﹣t，

由題意可得g（x）必有一個極值為0，則t=3m﹣8，或t=﹣ m3+ m2﹣m

（2）解：當x∈[0，1]時，若f（x）≥g（x）恒成立，

即為﹣x3+mx2﹣m≥﹣ x3+mx2+（a+1）x+2xcosx﹣m，

即有 x3+（a+1）x+2xcosx≤0，

當x=0時，上式顯然成立；

當0＜x≤1時，即有﹣a﹣1≥ x2+2cosx恒成立，

令m（x）= x2+2cosx，m′（x）=x﹣2sinx，m′′（x）=1﹣2cosx，

由0＜x≤1時，1＜2cos1≤2cosx＜2，則1﹣2cosx＜0，

y=x﹣2sinx在（0，1]遞減，可得x﹣2sinx＜0，

則m（x）在（0，1]遞減，可得m（x）＜m（0）=2，

則﹣a﹣1≥2，解得a≤﹣3．

a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得A，B處的切線方程，代入點（2，t），可得x1 ， x2為方程t﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的兩個不等實根，化簡整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m﹣t=0，令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m﹣t，求出導(dǎo)數(shù)，由題意可得g（x）必有一個極值為0，計算即可得到證明；（2）由題意可得﹣x3+mx2﹣m≥﹣ x3+mx2+（a+1）x+2xcosx﹣m，即有 x3+（a+1）x+2xcosx≤0，討論x=0，顯然成立；當0＜x≤1時，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出最值，即可得到所求a的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．