Question

若拋物線y²=4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，點(diǎn)M（4，4）是拋物線上一點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F、M且與l相切的圓共有（　�。�

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程，設(shè)出所求圓的圓心，表示出半徑，則圓的方程可得，把M，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)代入整理求得h，和g，則圓的方程可得．

解答：解：拋物線y²=4x的焦參數(shù)p=2，所以F（1，0），直線l：x=-1，即x+1=0，
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，4）、F（1，0），且與直線l相切的圓的圓心為Q（g，h），
則半徑為Q到，l的距離，即1+g，所以圓的方程為（x-g）²+（y-h）²=（1+g）²，
將M、F的坐標(biāo)代入，得（4-g）²+（4-h）²=（1+g）²，（1-g）²+（0-h）²=（1+g）²，
即h²-8h+1=10g①，
h²=4g②，②代入①，
得3h²+16h-2=0，
解得h₁=

70 -8

3

，h₂=-

70 +8

3

，（經(jīng)檢驗(yàn)無(wú)增根）
代入②得g₁=

67-8 70

18

，g₂=

67+8 70

18

，
所以滿足條件的圓有兩個(gè)：
（x-

67-8 70

18

）²+（y-

70 -8

3

）²=（

85-8 70

18

）²，
（x-

67+8 70

18

）²+（y+

70 +8

3

）²=（

85+8 70

18

）²．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程以及圓與圓錐曲線的位置關(guān)系．