Question

【題目】綠色已成為當今世界主題，綠色動力已成為時代的驅(qū)動力，綠色能源是未來新能源行業(yè)的主導．某汽車公司順應時代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試．現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50．用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值；

（�。┈F(xiàn)從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的概率；

（ⅱ）從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中隨機抽取10輛，設這10輛汽車中單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的數(shù)量為，求；

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券．已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次，若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到），若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結束．設遙控車移到第格的概率為，其中，試說明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1）300；（2）（i）；（ii）；（3）見解析，此方案能成功吸引顧客購買該款新能源汽車.

【解析】

（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算方法即可得出．

（2）（ⅰ）由，．利用正態(tài)分布的對稱性可得．

（ⅱ）依題意有，再利用二項分布的期望公式計算可得；

（3）遙控車開始在第0 格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為，即．遙控車移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為．②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為．可得：．變形為．即可證明時，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為的等比數(shù)列．利用，及其求和公式即可得出．可得獲勝的概率，失敗的概率．進而得出結論．

（1）（千米）.

（2）（i）由.

.

（ⅱ）依題意有，所以.

（3）第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為，即.

遙控車移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種；

①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為.

②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為.

，.

時，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為的等比數(shù)列．

，，，…，.

.

∴獲勝的概率，

失敗的概率.

.

∴獲勝的概率大.

∴此方案能成功吸引顧客購買該款新能源汽車．