【題目】四棱錐中，面，底面為菱形，且有，，，為中點(diǎn)．

（1）證明：面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值為

【解析】

（1）因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，所以，再由的中位線，得到，結(jié)合面，所以面，從而．最后根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得到面；

（2）以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則可得到、、、各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量、、的坐標(biāo)，然后利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式計(jì)算出它們的夾角的余弦值．最后根據(jù)題意，二面角是銳二面角，得到二面角平面角的余弦值為余兩個(gè)法向量夾角余弦的絕對(duì)值．

解：（1）設(shè)為底面的中心，連接，

底面為菱形，

中，、分別是、的中點(diǎn)

又面，

面

面，

又、是平面內(nèi)的兩條相交直線

面

（2）以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則可得

設(shè)是平面一個(gè)法向量

由，解得，

所以取，，，可得，

因?yàn)?/span>平面，所以向量即為平面的一個(gè)法向量，設(shè)

根據(jù)題意可知：二面角是銳二面角，其余弦值等于

二面角的平面角的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

(1) 證明：PB∥平面AEC

(2) 設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為的正方形中，、分別為，邊上的中點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)以為軸旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置，使得為直二面角．

（1）證明：；

（2）求異面直線與所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】綠色已成為當(dāng)今世界主題，綠色動(dòng)力已成為時(shí)代的驅(qū)動(dòng)力，綠色能源是未來(lái)新能源行業(yè)的主導(dǎo)．某汽車(chē)公司順應(yīng)時(shí)代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車(chē)，并在出廠前對(duì)100輛汽車(chē)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車(chē)所裝載的燃料或電池所能夠提供給車(chē)行駛的最遠(yuǎn)里程）的測(cè)試．現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）估計(jì)這100輛汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）根據(jù)大量的汽車(chē)測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問(wèn)中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50．用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值；

（ⅰ）現(xiàn)從該汽車(chē)公司最新研發(fā)的新能源汽車(chē)中任取一輛汽車(chē)，求它的單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的概率；

（ⅱ）從該汽車(chē)公司最新研發(fā)的新能源汽車(chē)中隨機(jī)抽取10輛，設(shè)這10輛汽車(chē)中單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的數(shù)量為，求；

（3）某汽車(chē)銷(xiāo)售公司為推廣此款新能源汽車(chē)，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車(chē)在方格圖上行進(jìn)，若遙控車(chē)最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購(gòu)車(chē)優(yōu)惠券．已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遙控車(chē)開(kāi)始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車(chē)向前移動(dòng)一次，若擲出正面，遙控車(chē)向前移動(dòng)一格（從到），若擲出反面，遙控車(chē)向前移動(dòng)兩格（從到），直到遙控車(chē)移到第49格（勝利大本營(yíng)）或第50格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束．設(shè)遙控車(chē)移到第格的概率為，其中，試說(shuō)明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款新能源汽車(chē).

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求證：當(dāng)時(shí)，；

（2）若函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn)其中，證明：存在，使得在處的切線斜率與在處的切線斜率相等.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】松、竹、梅經(jīng)冬不衰，因此有“歲寒三友”之稱(chēng).在我國(guó)古代的詩(shī)詞和典籍中有很多與松和竹相關(guān)的描述和記載，宋代劉學(xué)箕的《念奴嬌·水軒沙岸》的“綴松黏竹，恍然如對(duì)三絕”描寫(xiě)了大雪后松竹并生相依的美景；宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中亦有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等.現(xiàn)欲知幾日后，竹長(zhǎng)超過(guò)松長(zhǎng)一倍.為了解決這個(gè)新問(wèn)題，設(shè)計(jì)下面的程序框圖，若輸入的，，則輸出的的值為（ ）

A.4B.5C.6D.7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，都有恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），為的導(dǎo)函數(shù)，且.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)的極值；

（3）若關(guān)于的不等式對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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