Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+aln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，且x₁＜x₂．
（I）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；
（II）求f（x₂）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)f′（x），令g（x）=2x²+2x+a，由題意知x₁、x₂是方程g（x）=0的兩個(gè)均大于-1的不相等的實(shí)根，建立不等關(guān)系解之即可，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間；
（II）x₂是方程g（x）=0的根，將a用x₂表示，消去a得到關(guān)于x₂的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可求f（x₂）的取值范圍．

解答：解：（I）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=

2x2+2x+a

1+x

(x＞-1)
令g（x）=2x²+2x+a，，其對稱軸為x=-

1

2

．
由題意知x₁、x₂是方程g（x）=0的兩個(gè)均大于-1的不相等的實(shí)根，
其充要條件為△=4-8a＞0且g（-1）=a＞0，得0＜a＜

1

2

        …（2分）
（1）當(dāng)x∈（-1，x₁）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x₁）內(nèi)為增函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（x₁，x₂）內(nèi)為減函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（x₂，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；
（II）由（I）g（0）=a＞0，∴-

1

2

＜x₂＜0，a=-（2x²₂+2x₂）
∴f（x₂）=x²₂+aln（1+x₂）=x²₂-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）
設(shè)h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）（x＞-

1

2

），…（8分）
則h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）…（10分）
（1）當(dāng)x∈（-

1

2

，0）時(shí)，h'（x）＞0，∴h（x）在（-

1

2

，0）單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減 …（12分）
∴當(dāng)x∈（-

1

2

，0）時(shí)，h（x）＞h（-

1

2

）=

1-2ln2

4

故f（x₂）=h（x₂）＞

1-2ln2

4

．    …（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等有關(guān)知識，屬于中檔題．