【題目】在數(shù)列與中，，，數(shù)列的前項和滿足，.

（1）求，，，的值，猜測的通項公式，并證明之.

（2）求數(shù)列與的通項公式；

（3）設(shè)，.證明：.

【答案】（1），，，；猜測：，證明見解析（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）帶值計算并作猜想，利用迭乘法或數(shù)學(xué)歸納法，可得結(jié)果.

（2）根據(jù)（1）的條件，利用與的關(guān)系，可得，根據(jù)與的關(guān)系，可得結(jié)果.

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，計算出，進(jìn)一步得出，與2比較，可得結(jié)果.

（1）由題知：

，，，

猜測：

【法一】

∵∴

∴

,

即

【法二】

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

當(dāng)時，，等式成立.

假設(shè)時等式成立，

即，

當(dāng)時，

∵∴

∴

（2）

由（1）知：，

∴

即

則

當(dāng)時，也成立，

∴

∴

即

（3）

證明：當(dāng)，時，

.

注意到

，

故

.

當(dāng)，時，

即

當(dāng)，時，

即

當(dāng)，時，

即

∴，.

從而時，

有，

綜上，當(dāng)時有，即.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】每年10月中上旬是小麥的最佳種植時間，但小麥的發(fā)芽會受到土壤、氣候等多方面因素的影響.某科技小組為了解晝夜溫差的大小與小麥發(fā)芽的多少之間的關(guān)系，在不同的溫差下統(tǒng)計了100顆小麥種子的發(fā)芽數(shù)，得到了如下數(shù)據(jù)：

溫差

8

10

11

12

13

發(fā)芽數(shù)（顆）

79

81

85

86

90

（1）請根據(jù)統(tǒng)計的最后三組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；

（2）若由（1）中的線性回歸方程得到的估計值與前兩組數(shù)據(jù)的實際值誤差均不超過兩顆，則認(rèn)為線性回歸方程是可靠的，試判斷（1）中得到的線性回歸方程是否可靠；

（3）若100顆小麥種子的發(fā)芽率為顆，則記為的發(fā)芽率，當(dāng)發(fā)芽率為時，平均每畝地的收益為元，某農(nóng)場有土地10萬畝，小麥種植期間晝夜溫差大約為，根據(jù)（1）中得到的線性回歸方程估計該農(nóng)場種植小麥所獲得的收益.

附：在線性回歸方程中，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著電子商務(wù)的發(fā)展, 人們的購物習(xí)慣正在改變, 基本上所有的需求都可以通過網(wǎng)絡(luò)購物解決. 小韓是位網(wǎng)購達(dá)人, 每次購買商品成功后都會對電商的商品和服務(wù)進(jìn)行評價. 現(xiàn)對其近年的200次成功交易進(jìn)行評價統(tǒng)計, 統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.

對服務(wù)好評

對服務(wù)不滿意

合計

對商品好評

80

40

120

對商品不滿意

70

10

80

合計

150

50

200

(1) 是否有的把握認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)? 請說明理由;

(2) 若針對商品的好評率, 采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易, 并從中選擇兩次交易進(jìn)行觀察, 求只有一次好評的概率.

（,其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD，現(xiàn)計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F，為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF，設(shè)

Ⅰ為減少對周邊區(qū)域的影響，試確定E，F的位置，使與的面積之和最小；

Ⅱ為節(jié)省建設(shè)成本，求使的值最小時AE和BF的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正三棱柱各條棱的長度均相等，為的中點，分別是線段和線段的動點（含端點），且滿足，當(dāng)運動時，下列結(jié)論中不正確的是

A. 在內(nèi)總存在與平面平行的線段

B. 平面平面

C. 三棱錐的體積為定值

D. 可能為直角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求和的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若曲線截直線所得線段的中點坐標(biāo)為，求的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】等腰三角形ABC腰長為3，底邊BC長為4，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為2，此時四面體ABCD外接球表面積為____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查一款電視機的使用時間，研究人員對該款電視機進(jìn)行了相應(yīng)的測試，將得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示：

并對不同年齡層的市民對這款電視機的購買意愿作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，試估計該款電視機的平均使用時間；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99．9％的把握認(rèn)為“愿意購買該款電視機”與“市民的年齡”有關(guān)；

（3）若按照電視機的使用時間進(jìn)行分層抽樣，從使用時間在[0，4）和[4，20]的電視機中抽取5臺，再從這5臺中隨機抽取2臺進(jìn)行配件檢測，求被抽取的2臺電視機的使用時間都在[4，20]內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a是實常數(shù)，函數(shù)．

（1）若曲線在處的切線過點A（0，﹣2），求實數(shù)a的值；

（2）若有兩個極值點（），

①求證：；

②求證：．

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同步練習(xí)冊答案