【題目】已知a是實(shí)常數(shù),函數(shù).
(1)若曲線在
處的切線過點(diǎn)A(0,﹣2),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)
(
),
①求證:;
②求證:.
【答案】(1)證明詳見解析;(2)證明詳見解析.
【解析】
試題本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值,主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和分類討論的思想方法,注意函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用,屬于中檔題.第一問,求出的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點(diǎn),由點(diǎn)斜式方程可得切線方程,代入點(diǎn)(0,﹣2),即可解得a;第二問,①依題意:
有兩個(gè)不等實(shí)根
(
),設(shè)
,求出導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)a≥0時(shí),當(dāng)a<0時(shí),求得函數(shù)g(x)的單調(diào)性,令極大值大于0,解不等式即可得證;②由①知:
,
變化,求得
的增區(qū)間,通過導(dǎo)數(shù),判斷
,設(shè)
(0<x<1),求得h(x)的單調(diào)性,即可得證.
試題解析:(1)由已知可得,(x>0),切點(diǎn)
,
在x=1處的切線斜率為
,
切線方程:,
把代入得:a=1;
(2)證明:①依題意:有兩個(gè)不等實(shí)根
(
),
設(shè)則:
(x>0)
當(dāng)a≥0時(shí),有,所以
是增函數(shù),不符合題意;
當(dāng)a<0時(shí):由得:
,
列表如下:
依題意:,解得:
,
綜上可得,得證;
②由①知:,
變化如下:
由表可知:在[x1,x2]上為增函數(shù),所以:
又,故
,
由(1)知:,
(
)
設(shè)(
),則
成立,所以
單調(diào)遞減,
故:,也就是
,
綜上所證:成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列與
中,
,
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和
滿足
,
.
(1)求,
,
,
的值,猜測(cè)
的通項(xiàng)公式,并證明之.
(2)求數(shù)列與
的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),
.證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊空地進(jìn)行配套綠化.已知空地的一邊是直路,余下的外圍是拋物線的一段弧,直路
的中垂線恰是該拋物線的對(duì)稱軸(如圖),點(diǎn)O是
的中點(diǎn).擬在這個(gè)地上劃出一個(gè)等腰梯形
區(qū)域種植草坪,其中
均在該拋物線上.經(jīng)測(cè)量,直路
長(zhǎng)為60米,拋物線的頂點(diǎn)P到直路
的距離為60米.設(shè)點(diǎn)C到拋物線的對(duì)稱軸的距離為m米,到直路
的距離為n米.
(1)求出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.
(2)當(dāng)m為多大時(shí),等腰梯形草坪的面積最大?并求出其最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知半徑為
的圓
,圓心在
軸正半軸上,且與直線
相切.
(1)求圓的方程;
(2)在圓上,是否存在點(diǎn)
,滿足
,其中,點(diǎn)
的坐標(biāo)是
.若存在,指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若在圓上存在點(diǎn)
,使得直線
與圓
相交不同兩點(diǎn)
,求
的取值范圍.并求出使得
的面積最大的點(diǎn)
的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為直角梯形,AD//BC,且,BC⊥DC,∠BAD=60°,平面PAD⊥底面ABCD,E為AD的中點(diǎn),△PAD為等邊三角形,M是棱PC上的一點(diǎn),設(shè)
(M與C不重合).
(1)求證:CD⊥DP;
(2)若PA∥平面BME,求k的值;
(3)若二面角M﹣BE﹣A的平面角為150°,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足
.
(1)求的解析式;
(2)若在
上單調(diào),求
的取值范圍;
(3)設(shè)(
且a≠1),(
且
),當(dāng)
時(shí),
有最大值14,試求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
,該橢圓經(jīng)過點(diǎn)
,且離心率為
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)
作兩條互相垂直的弦
.若弦
的中點(diǎn)分別為
,證明:直線
恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】命題方程
表示雙曲線;命題
不等式
的解集是
.
為假,
為真,求
的取值范圍.
【答案】
【解析】試題分析:由命題方程
表示雙曲線,求出
的取值范圍,由命題
不等式
的解集是
,求出
的取值范圍,由
為假,
為真,得出
一真一假,分兩種情況即可得出
的取值范圍.
試題解析:
真
,
真
或
∴
真
假
假
真
∴范圍為
【題型】解答題
【結(jié)束】
18
【題目】如圖,設(shè)是圓
上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)
是
在
軸上的投影,
為
上一點(diǎn),且
.
(1)當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)
的軌跡
的方程;
(2)求過點(diǎn)且斜率為
的直線被
所截線段的長(zhǎng)度.
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