【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）求函數(shù)在的值域；

（2）用表示實數(shù)，的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）求導得到，討論和得到函數(shù)在單調(diào)遞增，計算得到答案.

（2）時，恒成立，當時，恒成立，故的零點即為函數(shù)的零點，討論在的零點個數(shù)得到答案.

（1）

當時，，，所以

當時，，，所以

所以：當時，成立，即函數(shù)在單調(diào)遞增

所以函數(shù)在的值域為，即值域為.

（2）函數(shù)的定義域為

由（1）得，函數(shù)在單調(diào)遞增，

當時，，又，

所以時，恒成立，即時，無零點.

當時，恒成立，所以的零點即為函數(shù)的零點

下面討論函數(shù)在的零點個數(shù)

，所以

Ⅰ、當時，因為，

又函數(shù)在區(qū)間遞減，所以

即當時，，

所以單調(diào)遞減，由得：當時，遞增

當時，遞減

當時，，當時

又，

當時，函數(shù)有1個零點；

當時，函數(shù)有2個零點；

當時，函數(shù)有3個零點；

Ⅱ、當時，，由Ⅰ得：當時，，遞增，

當時，，遞減，所以，，

所以當時函數(shù)有2個零點

Ⅲ、當時，

，，即成立，由，

所以當時函數(shù)有1個零點

綜上所述：當或時，函數(shù)有1個零點；

當或時，函數(shù)有2個零點；

當時，函數(shù)有3個零點.

練習冊系列答案
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（1）若米，米，求與的值；

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【題目】已知函數(shù)，.

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