【題目】三棱錐P﹣ABC,底面ABC為邊長為2 的正三角形,平面PBC⊥平面ABC,PB=PC=2,D為AP上一點,AD=2DP,O為底面三角形中心.

(1)求證DO∥面PBC;
(2)求證:BD⊥AC;
(3)設(shè)M為PC中點,求平面MBD和平面BDO所成銳二面角的余弦值.

【答案】
(1)證明:連接AO交BC于點E,連接PE.

∵O為正三角形ABC的中心,∴AO=2OE,

且E為BC中點.又AD=2DP,

∴DO∥PE,

∵DO平面PBC,PE平面PBC

∴DO∥面PBC.


(2)證明:∵PB=PC,且E為BC中點,∴PE⊥BC,

又平面PBC⊥平面ABC,

∴PE⊥平面ABC,

由(Ⅰ)知,DO∥PE,

∴DO⊥平面ABC,

∴DO⊥AC

連接BO,則AC⊥BO,又DO∩BO=O,

∴AC⊥平面DOB,∴AC⊥BD.


(3)解:由(1)(2)知,EA,EB,EP兩兩互相垂直,且E為BC中點,

所以分別以EA,EB,EP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,

如圖,則A(3,0,0),B(0, ,0),P(0,0,1),

D(1,0, ),C(0,﹣ ,0),M(0,﹣ ),

=(0,﹣ , ), =(﹣1, ,﹣ ),

設(shè)平面BDM的法向量為 =(x,y,z),則 ,

令y=1,則 =(﹣ ,1,3 ),

由(Ⅱ)知AC⊥平面DBO,

=(﹣3,﹣ ,0)為平面DBO的法向量,

∴cos< >= = = ,

由圖可知,二面角M﹣BD﹣O的余弦值為


【解析】(1)連接AO交BC于點E,連接PE,推導(dǎo)出DO∥PE,由此能證明DO∥面PBC.(2)推導(dǎo)出PE⊥BC,從而PE⊥平面ABC,進而DO⊥平面ABC,由此得DO⊥AC,再由AC⊥BO,能證明AC⊥BD.(3)分別以EA,EB,EP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角M﹣BD﹣O的余弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點,以及對直線與平面平行的判定的理解,了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.

練習(xí)冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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A.﹣2
B.2
C.
D.﹣

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