Question

【題目】己知橢圓W：+=1（a>b>0），直線：=與軸，軸的交點(diǎn)分別是橢圓W的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)。

（1）求橢圓W的方程；

（2）設(shè)直線m：=kx（k≠0）與橢圓W交于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P（，）作PC⊥軸，垂足為點(diǎn)C，直線交橢圓w于另一點(diǎn)R。

①求△PCQ面積的最大值；②求出∠QPR的大小。

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②90.

【解析】

（1）由題意求出c，b，進(jìn)而得到橢圓W的方程；

（2）①設(shè)P（，），則Q（，），C（，0），可知S，利用點(diǎn)在橢圓上及均值不等式即可得到△PCQ面積的最大值；②設(shè)P（，），則Q（，），C（，0），k=，直線QR的斜率，直線QR的方程：（）與橢圓方程聯(lián)立可得（2+）2－2，求得R點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到即可得到結(jié)果.

（1）直線：與軸，軸的交點(diǎn)分別（，0），（0，），

可知c=，，橢圓W的方程。

（2）①設(shè)P（，），則Q（，），C（，0），可知S，

有已知可知，根據(jù)重要不等式得，S，

當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，面積取得最大值。

②設(shè)P（，），則Q（，），C（，0），k=。

直線QR的斜率。

可得直線QR的方程：（），設(shè)點(diǎn)R（，），

聯(lián)立消去得（2+）2－2，

則，解得，所以，點(diǎn)R（，）。

因?yàn)?/span>，所以，所以∠QPR=90°。