(1)證明1:因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030438487.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,平面
平面
,
平面
,
,
所以
平面
.
記
邊上的中點(diǎn)為
,在△
中,
,所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030422668.png" style="vertical-align:middle;" />,
,所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210031140387.png" style="vertical-align:middle;" />
,所以△
為直角三角形.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030609508.png" style="vertical-align:middle;" />,
,
所以
.
連接
,在
△
中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210032450546.png" style="vertical-align:middle;" />,
,
所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210031140387.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,
平面
,所以
.
在
△
中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030609508.png" style="vertical-align:middle;" />,
,
所以
.
在
中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210033339542.png" style="vertical-align:middle;" />,
,
,
所以
.
所以
為直角三角形.
證明2:因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030438487.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,平面
平面
,
平面
,
,
所以
平面
.
記
邊上的中點(diǎn)為
,在△
中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210031498517.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030422668.png" style="vertical-align:middle;" />,
,所以
.
連接
,在
△
中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210035055719.png" style="vertical-align:middle;" />,
,
,
所以
.
在△
中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030578451.png" style="vertical-align:middle;" />,
,
,
所以
,所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210031140387.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,
平面
,
所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210035711584.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
平面
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210035867400.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,所以
.
所以
為直角三角形.
(2)解法1:過點(diǎn)
作平面
的垂線,垂足為
,連
,
則
為直線
與平面
所成的角.
由(1)知,△
的面積
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030609508.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
.
由(1)知
為直角三角形,
,
,
所以△
的面積
.
因?yàn)槿忮F
與三棱錐
的體積相等,即
,
即
,所以
.
在
△
中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030609508.png" style="vertical-align:middle;" />,
,
所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232100368961480.png" style="vertical-align:middle;" />.
所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.
解法2:過點(diǎn)
作
,設(shè)
,
則
與平面
所成的角等于
與平面
所成的角.
由(1)知
,
,且
,
所以
平面
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210035664412.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,
所以平面
平面
.
過點(diǎn)
作
于點(diǎn)
,連接
,
則
平面
.
所以
為直線
與平面
所成的角.
在
△
中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030609508.png" style="vertical-align:middle;" />,
,
所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210037271615.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,即
,所以
.
由(1)知
,
,且
,
所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232100389711668.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.
解法3:延長(zhǎng)
至點(diǎn)
,使得
,連接
、
,
在△
中,
,
所以
,即
.
在△
中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210033370605.png" style="vertical-align:middle;" />,
,
,
所以
,
所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210039845571.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以
平面
.
過點(diǎn)
作
于點(diǎn)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210039969442.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,
所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210040250580.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以
平面
.
所以
為直線
與平面
所成的角.
由(1)知,
,
所以
.
在△
中,點(diǎn)
、
分別為邊
、
的中點(diǎn),
所以
.
在△
中,
,
,
,
所以
,即
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232100407651451.png" style="vertical-align:middle;" />.
所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.
解法4:以點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn),以
,
所在的直線分別為
軸,
軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系
,
則
,
,
,
.
于是
,
,
.
設(shè)平面
的法向量為
,
則
即
取
,則
,
.
所以平面
的一個(gè)法向量為
.
設(shè)直線
與平面
所成的角為
,
則
.
所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.
若第(1)、(2)問都用向量法求解,給分如下:
(1)以點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn),以
,
所在的直線分別為
軸,
軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系
,
則
,
,
.
于是
,
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232100434951466.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以
.
所以
.
所以
為直角三角形.
(2)由(1)可得,
.
于是
,
,
.
設(shè)平面
的法向量為
,
則
即
取
,則
,
.
所以平面
的一個(gè)法向量為
.
設(shè)直線
與平面
所成的角為
,
則
.
所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.