【題目】已知是定義域為上的函數(shù)，若對任意的實數(shù)，都有：成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則稱函數(shù)是上的凸函數(shù)，凸函數(shù)具有以下性質(zhì)：對任意的實數(shù)，都有：成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，設(shè)

（1）求證：是上的凸函數(shù)

（2）設(shè)，，利用凸函數(shù)的定義求的最大值

（3）設(shè)是三個內(nèi)角，利用凸函數(shù)性質(zhì)證明

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)定義證明 成立，利用三角函數(shù)和差化積公式進行證明．

（2）根據(jù)定義求最值直接套入凸函數(shù)的定義式中，易得函數(shù)的最大值．

（3）直接利用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式即可，注意到中，，可證得結(jié)論成立．

（1）設(shè)，，則 ，

又

，又，

當(dāng)且僅當(dāng)時，，上式取得等號，

即成立，其中，，

上的凸函數(shù).

（2）設(shè)，，

是上的凸函數(shù)；，，

由凸函數(shù)的定義得到，

的最大值為.

（3）在中，，

由凸函數(shù)的性質(zhì)得到．

所以原不等式得證．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查觀眾對電視劇《風(fēng)箏》的喜愛程度，某電視臺舉辦了一次現(xiàn)場調(diào)查活動.在參加此活動的甲、乙兩地觀眾中，各隨機抽取了8名觀眾對該電視劇評分做調(diào)查(滿分100分)，被抽取的觀眾的評分結(jié)果如圖所示

（Ⅰ）計算：①甲地被抽取的觀眾評分的中位數(shù)；

②乙地被抽取的觀眾評分的極差；

（Ⅱ）用頻率估計概率,若從乙地的所有觀眾中再隨機抽取4人進行評分調(diào)查,記抽取的4人評分不低于90分的人數(shù)為，求的分布列與期望；

（Ⅲ）從甲、乙兩地分別抽取的8名觀眾中各抽取一人，在已知兩人中至少一人評分不低于90分的條件下，求乙地被抽取的觀眾評分低于90分的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市小型機動車駕照“科二”考試中共有5項考查項目，分別記作①，②，③，④，⑤.

（1）某教練將所帶10名學(xué)員“科二”模擬考試成績進行統(tǒng)計（如表所示），并計算從恰有2項成績不合格的學(xué)員中任意抽出2人進行補測（只測不合格的項目），求補測項目種類不超過3（）項的概率.

（2）“科二”考試中，學(xué)員需繳納150元的報名費，并進行1輪測試（按①，②，③，④，⑤的順序進行）；如果某項目不合格，可免費再進行1輪補測；若第1輪補測中仍有不合格的項目，可選擇“是否補考”；若補考則需繳納300元補考費，并獲得最多2輪補測機會，否則考試結(jié)束；每1輪補測都按①，②，③，④，⑤的順序進行，學(xué)員在任何1輪測試或補測中5個項目均合格，方可通過“科二”考試，每人最多只能補考1次，某學(xué)院每輪測試或補考通過①，②，③，④，⑤各項測試的概率依次為，且他遇到“是否補考”的決斷時會選擇補考.

①求該學(xué)員能通過“科二”考試的概率；

②求該學(xué)員繳納的考試費用的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四棱錐中，側(cè)面是邊長為的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形， 為的中點， 為的中點.

（1）求證： ；

（2）求與平面所成的角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（ ）是偶函數(shù)．

（1）求的值；

（2）設(shè)函數(shù)，其中．若函數(shù)與的圖象有且只有一個交點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐，底面是平行四邊形，，底面，，，，分別為，的中點，為線段的中點.

（1）求證：面；

（2）求直線與平面所成的角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的一系列對應(yīng)值如下表：

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)的一個解析式；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)周期為，當(dāng)時，方程 恰有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)，且=10

（1）求的解析式；

（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明．

（3）函數(shù)在[-3，0）上是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)？(直接寫出答案，不要求寫證明過程)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列結(jié)論中錯誤的是（ ）

A.命題“若，則”的逆否命題是“若，則”

B.“”是“”的充分條件

C.命題“若，則方程有實根”的逆命題是真命題

D.命題“若，則且”的否命題是“若，則或”

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