Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，已知對任意n∈N^*，S_n是a和a_n的等差中項(xiàng)．
(1)證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)證明＜2.

Answer 1

（1）a_n＝n.（2）見解析

(1)由已知得，2S_n＝＋a_n，且a_n＞0，
當(dāng)n＝1時(shí)，2a₁＝＋a₁，解得a₁＝1(a₁＝0舍去)；
當(dāng)n≥2時(shí)，有2S_n－1＝＋a_n－1.
于是2S_n－2S_n－1＝－＋a_n－a_n－1，
即2a_n＝－＋a_n－a_n－1.
于是－＝a_n＋a_n－1，即(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1)＝a_n＋a_n－1.
因?yàn)?i>a_n＋a_n－1＞0，所以a_n－a_n－1＝1(n≥2)．
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n＝n.
(2)證明：因?yàn)?i>a_n＝n，則S_n＝，，
所以＝2＝2＜2.