Question

16．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ACC₁≌△B₁ CC₁，CA⊥C₁ A且CA=C₁ A=2．
（1）求證：AB₁丄CC₁，
（2）若AB₁=2，求四棱錐A-BCC₁B₁，的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連AC₁，CB₁，證明CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，推出CC₁⊥平面OAB₁，然后證明CC₁⊥AB₁．
（Ⅱ）說明OA⊥平面BB₁C₁C．求出${S_{四形B{B_1}{C_1}C}}$，然后求解四棱錐A-BCC₁B₁的體積．

解答 解：（Ⅰ）證明：連AC₁，CB₁，則△ACC₁和△B₁CC₁均為等腰直角三角形．
取CC₁中點(diǎn)O，連OA，OB₁，則：
CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，
則CC₁⊥平面OAB₁，…（4分）
所以CC₁⊥AB₁．   …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA=OB₁=$\sqrt{2}$，又AB₁=2，
所以O(shè)A⊥OB₁．又OA⊥CC₁，OB₁∩CC₁=O，
所以O(shè)A⊥平面BB₁C₁C．${S_{四形B{B_1}{C_1}C}}$=BC×BB₁=4．
所以${V_{A-B{B_1}{C_1}C}}=\frac{1}{3}×4×\sqrt{2}=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理，平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．