Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=1﹣ ，bn= ，其中n∈N* ．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)cn=bn+1（ ） ，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 求Tn；
（3）證明：1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）證明：bn+1﹣bn= ﹣ = ﹣ =1，又b1=1．∴數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1
（2））解：由（1）可得：bn=n．

cn=bn+1（ ） =（n+1） ．

∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn= +3× + +…+（n+1） ．

= +3× +…+n +（n+1） ，

∴ Tn= + + +…+ ﹣（n+1） = + ﹣（n+1） ，

可得Tn= ﹣

（3）證明：1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）即為：1+ + +…+ ≤2 ﹣1．

∵ = ＜ =2 （k=2，3，…）．

∴1+ + +…+ ≤1+2[（ ﹣1）+（ ）+…+（ ﹣ ）]=1+2 =2 ﹣1．

∴1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）

【解析】（1）只要證明bn+1﹣bn= ﹣ = ﹣ ，為常數(shù)．（2）由（1）可得：bn=n．cn=bn+1（ ） =（n+1） ．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．（3）1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）即為：1+ + +…+ ≤2 ﹣1．由于 = ＜ =2 （k=2，3，…）．利用“裂項(xiàng)求和方法”即可得出．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)，還要掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．