Question

(本小題14分) 已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，且x=-1時(shí)，函數(shù)取極值1。
（1）求a，b，c的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤2；
（3）求證：曲線y=f（x）上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使過A， B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB。

Answer 1

（1），b=0
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003630940981.png" style="vertical-align:middle;" />，那么可以運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性放縮來得到解決問題。
（3）對于探索性試題的分析，假設(shè)存在，然后根據(jù)過A，B兩點(diǎn)的切線平行，得到斜率相等，同時(shí)根據(jù)過A，B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB
，則斜率之積為-1，得到方程，通過方程無解說明假設(shè)不成立，進(jìn)而得到證明。

試題分析：（1）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴即對于恒成立，
∴b=0
∴
∵x=-1時(shí)，函數(shù)取極值1，∴3a+c=0，-a-c=1
解得：
（2）
＜0，∴

（3）設(shè)
∵過A，B兩點(diǎn)的切線平行，
∴可得
∵，∴，則
由于過A點(diǎn)的切線垂直于直線AB，
∴
∴∵△=-12＜0
∴關(guān)于x₁的方程無解。
∴曲線上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，過A，B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB
點(diǎn)評：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題主要涉及到了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值以及最值問題，那么同時(shí)要熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示切線方程。而對于不等式的恒成立問題，一般將其轉(zhuǎn)換為分離參數(shù)的思想來求解不等式的成立，主要是通過最值來完成證明，屬于中檔題。