Question

【題目】已知四棱錐P－ABCD的三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動點．

（1）求證：BD⊥AE

（2）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題（1）要證明線線垂直，先證明線面垂直，所以觀察幾何體，先證明平面,而要證明線面垂直，先證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，即證明,;

（2）法一，幾何法，觀察,所以可選擇在平面DAE內(nèi)過點D作DF⊥AE于F，連結(jié)BF，∠DFB為二面角D－AE－B的平面角，或法二，采用空間向量的方法，以點C為原點，CD，CB，CP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，分別求兩個平面的法向量，或.

試題解析：（1）由三視圖可知，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，

側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.

連結(jié)AC，∵ABCD是正方形， ∴BD⊥AC.

∵PC⊥底面ABCD，且BD平面ABCD， ∴BD⊥PC.

又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.

∵AE平面PAC. ∴BD⊥AE.

（2）解法1：在平面DAE內(nèi)過點D作DF⊥AE于F，連結(jié)BF.

∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝，AE＝AE＝，

∴Rt△ADE≌Rt△ABE，

從而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.

∴∠DFB為二面角D－AE－B的平面角．

在Rt△ADE中，DF＝， ∴.

又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得

cos∠DFB＝，

∴∠DFB＝，即二面角D－AE－B的大小為

解法2：如圖，以點C為原點，CD，CB，CP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．則D（1,0,0），A（1,1,0），B（0,1,0），E（0,0,1），

從而＝（0,1,0），＝（－1,0,1），＝（1,0,0），＝（0，－1,1）．[Z#x設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為，

由，取

由，取

設(shè)二面角D－AE－B的平面角為θ，則，

∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小為