【題目】如圖,在正三棱柱中,側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1, 的中點(diǎn).

求證: ∥平面

)求與平面 所成角的正弦值;

(Ⅲ)試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn),使?若存在,求 的值,若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1)見解析;(2) ;(3)見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)連結(jié)于點(diǎn)O,連結(jié)OD,則OD是的一條中位線,則

OD ,即可證明 ∥平面

)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DB所在直線為X軸,AD所在直線為Y軸,垂直于面ABC的直線為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出及平面ADC1的一個(gè)法向量一個(gè)法向量,即可求出與平面 所成角的正弦值;

(Ⅲ)假設(shè)點(diǎn)E在線段上,使,不妨設(shè),通過(guò) (1) (2)求得不相等,故這樣的點(diǎn)E不存在..

試題解析:)連結(jié)于點(diǎn)O,連結(jié)OD

于點(diǎn)O O是的中點(diǎn)

的中點(diǎn) OD是的一條中位線

OD

∥平面

)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DB所在直線為X軸,AD所在直線為Y軸,垂直于面ABC的直線為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(0, ,0),C(,0,0)

在平面ADC1中, (0, ,0),

設(shè)為平面ADC1的一個(gè)法向量,則有,即

不妨令,則, ,所以

,則

設(shè)與平面所成角為,則==

與平面所成角的正弦值為.

(Ⅲ)假設(shè)點(diǎn)E在線段上,使

不妨設(shè)

,

在平面ADC1中, (0, ,0),

(1) (2)

由(1)可解得 又(2)可解得,(1)與(2)矛盾,所以這樣的點(diǎn)E不存在.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(2)①由直方圖可以認(rèn)為,速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在內(nèi)的概率;

②將頻率視為概率,若某人從某超市購(gòu)買了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:①計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為;

②若,則,

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(1)求,;

(2)能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過(guò)1小時(shí)與性別有關(guān)?

附:

.

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1)求出圖中實(shí)數(shù)a的值;

2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)本校4000名同學(xué)家庭中,月均用水量低于8噸的約有多少戶

3)在月均用水量大于或等于10噸的樣本數(shù)據(jù)中,該興趣小組決定隨機(jī)抽取2名同學(xué)的家庭進(jìn)行回訪,求這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10,12)組的概率.

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編號(hào)

1

2

3

4

5

x

169

178

166

175

180

y

75

80

77

70

81

已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98.

1)求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量;

2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素xy滿足x≥175,且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品,用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量;

3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).

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