【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形,平面,為上的一點, 平面 ;
(1)求證:為的中點;
(2)求證:
(3)設二面角為60°,,,求長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)連接BD交AC于O,連接EO.由線面平行的性質(zhì)可得PB∥OE,故而得出E為PD的中點;
(2)證明CD⊥平面PAD,則可得出CD⊥AE;
(3)建立空間坐標系,求出兩平面的法向量,利用法向量的夾角公式運算得出AB的長.
(1)連交于點,連結(jié),
因為平面,PB平面PBD,平面平面,
∴,
∵為中點,∴為中點.
(2)∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵底面ABCD是矩形,∴CD⊥AD,
又PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,又AE平面PAD.
∴CD⊥AE.
(3)以A為原點,以AB,AD,AP為坐標軸建立空間坐標系如圖所示,
設AB=a,則A(0,0,0),C(a,,0),D(0,,0),P(0,0,1),E(0,,),
∴(a,,0),(0,,),(0,0,1),
顯然(1,0,0)為平面AED的一個法向量,
設平面ACE的法向量為(x,y,z),則,即,
令z得(,﹣1,),
∵二面角D﹣AE﹣C為60°,
∴|cos|=||,
解得a,即AB.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設,分別為橢圓:的左右焦點,已知橢圓上的點到焦點,的距離之和為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作直線交橢圓于,兩點,線段的中點為,連結(jié)并延長交橢圓于點(為坐標原點),若,,等比數(shù)列,求線段的方程.
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【題目】如圖,曲線由曲線和曲線組成,其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點,點為曲線所在圓錐曲線的焦點.
(1)若,求曲線的方程;
(2)如圖,作直線平行于曲線的漸近線,交曲線于點,求證:弦的中點必在曲線的另一條漸近線上;
(3)對于(1)中的曲線,若直線過點交曲線于點,求的面積的最大值.
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【題目】中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關……”其大意為:“某人從距離關口三百七十八里處出發(fā),第一天走得輕快有力,從第二天起,由于腳痛,每天走的路程為前一天的一半,共走了六天到達關口……” 那么該人第一天走的路程為______________
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【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長為2;
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設橢圓上頂點,左、右頂點分別為、.直線且交橢圓于、兩點,點E 關于軸的對稱點為點,求證: .
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【題目】給出下列命題:
(1)直線與線段相交,其中,,則的取值范圍是;
(2)點關于直線的對稱點為,則的坐標為;
(3)圓上恰有個點到直線的距離為;
(4)直線與拋物線交于,兩點,則以為直徑的圓恰好與直線相切.
其中正確的命題有_________.(把所有正確的命題的序號都填上)
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【題目】如圖所示,三棱錐中,平面平面,平面平面,分別是和邊上的點,且,,,,,,為的中點.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知橢圓經(jīng)過點.離心率.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若M,N分別是橢圓長軸的左、右端點,動點D滿足,連接MD交橢圓于點Q.問:x軸上是否存在異于點M的定點G,使得以QD為直徑的圓恒過直線QN,GD的交點?若存在,求出點G的坐標;若不存在,說明理由.
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