Question

己知四棱錐P-ABCD，其中底面ABCD為矩形側(cè)棱PA底面ABCD，其中BC=2,AB=2PA=6，

M,N為側(cè)棱PC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，如圖所示：

（1）求證：AN∥平面MBD；

（2）求二面角B-PC-A的余弦值．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需證明直線和平面內(nèi)的直線平行，本題連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，由三角形的中位線定理易證OM//AN，進(jìn)而證明AN∥平面MBD；（2）求二面角大小，根據(jù)已知條件尋找或作出兩兩垂直的三條直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，求兩個(gè)半平面的法向量并求其夾角的余弦值，二面角的余弦值與法向量夾角余弦值相等或?yàn)橄喾磾?shù)，再由圖中二面角是銳角還是鈍角確定其正負(fù)．

試題解析：（1）證明：連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，

∵底面ABCD為矩形，∴O為AC中點(diǎn)，∵M(jìn)、N為側(cè)棱PC的三等份點(diǎn)，∴CM=CN，

∴OM//AN， ∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN//平面MBD 4分．

（2）易知為等腰直角三角形,所以BP為外接圓的直徑,所以PB=,PA=3

如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，

則A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),

設(shè)平面的法向量為,，并且,

，令得,

∴平面MBD的一個(gè)法向量為, 6分

設(shè)平面法向量為,

同理可得 8分

10分

由圖可知,二面角為銳角,

∴二面角的余弦值為

考點(diǎn)：1、直線和平面平行的判定定理；2、二面角．