Question

13．已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥CB，求證：△CEF∽△CBA．

Answer 1

分析 先利用高的定義得到∠DEC=∠DFC=90°，則根據(jù)圓周角定理可判斷點(diǎn)E、F在以CD為直徑的圓上，所有∠CEF=∠CDF，再利用等角的余角相等得到∠CDF=∠B，然后加上公共角可判斷△CEF∽△CBA．

解答 證明：∵DE、DF為AB和BC邊上的高，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∴點(diǎn)E、F在以CD為直徑的圓上，
∴∠CEF=∠CDF，
∵CD為AB邊上的高，
∴∠CDB=90°，即∠CDF+∠BDF=90°，
而∠B+∠BDF=90°，
∴∠CDF=∠B，
而∠ECF=∠BCA，
∴△CEF∽△CBA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了圓周角定理．