Question

【題目】已知直線與拋物線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線在點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)。

（1）若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，求證：；

（2）若，且直線經(jīng)過點(diǎn)，求的最小值。

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)1

【解析】

(1)求得拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)直線的斜率時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理.求得過點(diǎn)切線的方程，聯(lián)立兩條切線方程求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算，由此證得.當(dāng)直線的斜率時(shí)，根據(jù)直線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)證得.從而證得成立.（2）根據(jù)題意求得拋物線的方程，當(dāng)直線的斜率時(shí)，設(shè)出直線的方程，代入拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由弦長公式求得，求得點(diǎn)坐標(biāo)后利用點(diǎn)到直線的距離公式求得三角形的高，由此求得三角形面積的表達(dá)式，利用配方法求得面積的最小值.當(dāng)直線的斜率時(shí)，求得三角形的面積為.綜上，的最小值為.

解：（1）由題意可得，

②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

由得，∴，

過點(diǎn)的切線方程為，即，

過點(diǎn)的切線方程為，

由得，∴，

∵，∴；

②當(dāng)時(shí)，則直線，∴；

（2）由題意可得，

①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

由，得，∴，

∴，

由（1）可得過點(diǎn)的切線方程分別為，

由得，∴，

∴到直線的距離，

∴，

當(dāng)時(shí)，取最小值1；

②當(dāng)時(shí)，則直線，∴，

綜上，的最小值為1。