Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ax+1）ex﹣（a+1）x﹣1．
（1）求y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）若x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），

∴f'（0）=0，

因此y=f（x）在（0，f（0））處的切線l的斜率為0，

又f（0）=0，

∴y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=0；

（2）解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（ax+1）ex﹣（a+1）x﹣1＞0恒成立，

令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），則g′（x）=（ax+1+2a）ex，

若a≥0，則g′（x）=（ax+1+2a）ex＞0，g（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

又g（0）=0，∴g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

由f（0）=0，∴x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立；

若a＜0，當(dāng)a 時(shí)，g′（x）＜0在（0，+∞）上成立，g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，

∵g（0）=0，∴g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，

由f（0）=0，∴x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0不成立；

當(dāng) ＜a＜0時(shí)，x∈（0， ）時(shí)，g′（x）＞0，x∈（ ）時(shí)，g′（x）＜0，

g（x）在（0，+∞）上有最大值為g（ ），當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）＜0，即f′（x）＜0，

∴存在x0∈（ ），使f（x）＜0，即x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0不恒成立．

綜上，a的取值范圍為[0，+∞）．

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f'（0）=0，再求出f（0）=0，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；（2）令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），則g′（x）=（ax+1+2a）ex ， 然后對a分類分析，當(dāng)a≥0，則g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合g（0）=0，可得g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，再由f（0）=0，可得x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立；當(dāng)a＜0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)分析x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0不恒成立，由此可得a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值)．