Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線x²-y²=1的左右焦點，點A的坐標是（

2

2

，-

2

2

），點B在雙曲線上，且

F1A

•

AB

=0
（1）求點B的坐標
（2）求證：∠F₁BA=∠F₂BA．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,證明題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)B（m，n），則m²-n²=1，求出雙曲線的焦點坐標，向量F₁A，AB的坐標，再由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，解方程組，可得m，n；
（2）求出直線F₁B，F(xiàn)₂B，AB的斜率，由兩直線的到角公式，計算即可得證．

解答： （1）解：設(shè)B（m，n），則m²-n²=1，
雙曲線x²-y²=1的焦點F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），
則

F1A

=（

3 2

2

，-

2

2

），

AB

=（m-

2

2

，n+

2

2

），
即有

3 2

2

×（m-

2

2

）-

2

2

×（n+

2

2

）=0，
解得m=

3 2

4

，n=

2

4

．
則B（

3 2

4

，

2

4

）；
（2）證明：由于kF1B=

2 4

3 2 4 + 2

=

1

7

，kF2B=

2 4

3 2 4 - 2

=-1，
k_AB=

2 4 + 2 2

3 2 4 - 2 2

=3，
則F₁B到AB的角的正切為

3- 1 7

1+ 3 7

=2，
AB到F₂B的角的正切為

-1-3

1+(-3)

=2，
則有∠F₁BA=∠F₂BA．

點評：本題雙曲線方程和性質(zhì)，考查平面向量垂直的條件，考查兩直線的到角公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．