【題目】已知函數(shù).

(1) 時,證明:

(2)當(dāng)時,直線和曲線切于點(diǎn),求實數(shù)的值;

(3)當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2);(3).

【解析】試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識求出其最小值,從而使得不等式獲證;(2)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為, ,然后建立方程組,求得.進(jìn)而得到;(3)依據(jù)題設(shè)條件將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立, 進(jìn)而分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值來求解:

解:(1)記,

,

,

當(dāng), , 遞減;當(dāng), , 遞增,

,

,

.

(2)切點(diǎn)為, ,則

,∴,

,∴由(1)得.

所以.

(3)由題意可得恒成立,

所以,

下求的最小值,

,

由(1) .

所以, 遞減,

,∴.

所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生細(xì)心程度的關(guān)系,在本校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明:在數(shù)學(xué)成績及格的60名學(xué)生中有45人比較細(xì)心,另外15人比較粗心;在數(shù)學(xué)成績不及格的40名學(xué)生中有10人比較細(xì)心,另外30人比較粗心.

(1)試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表;

數(shù)學(xué)成績及格

數(shù)學(xué)成績不及格

合計

比較細(xì)心

45

比較粗心

合計

60

100

(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與細(xì)心程度有關(guān)系?

參考數(shù)據(jù):獨(dú)立檢驗隨機(jī)變量的臨界值參考表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生細(xì)心程度的關(guān)系,在本校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明:在數(shù)學(xué)成績及格的60名學(xué)生中有45人比較細(xì)心,另外15人比較粗心;在數(shù)學(xué)成績不及格的40名學(xué)生中有10人比較細(xì)心,另外30人比較粗心.

(1)試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表;

數(shù)學(xué)成績及格

數(shù)學(xué)成績不及格

合計

比較細(xì)心

45

比較粗心

合計

60

100

(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與細(xì)心程度有關(guān)系?

參考數(shù)據(jù):獨(dú)立檢驗隨機(jī)變量的臨界值參考表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在某校舉行的航天知識競賽中,參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績分布在,分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的同學(xué)獲獎.按文理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖(見下圖)

(Ⅰ)求所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,能否有超過95%的把握認(rèn)為“獲獎與學(xué)生的文理科有關(guān)”?

附表及公式:

,其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若上為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;

(2)若,求證: 有唯一零點(diǎn)的充要條件是.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為,在以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立的平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).

(1)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換 得到曲線,若為曲線上任意一點(diǎn),求點(diǎn)到直線的最小距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了調(diào)查某高中學(xué)生每天的睡眠時間,隨即對20名男生和20名女生進(jìn)行問卷調(diào)查.

(1)現(xiàn)把睡眠時間不足5小時的定義為“嚴(yán)重睡眠不足”,從睡眠時間不足6小時的女生中隨機(jī)抽取3人,求此3人中恰有一人為“睡眠嚴(yán)重不足”的概率;

(2)完成下面列聯(lián)表,并回答是否有的把握認(rèn)為“睡眠時間與性別有關(guān)”?

參考公式: ,

臨界表值:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在如圖所示的多面體中, 平面, , , , , , 的中點(diǎn).

(1)求證: 平面;

(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】“DD共享單車”是為城市人群提供便捷經(jīng)濟(jì)、綠色低碳的環(huán)保出行方式,根據(jù)目前在三明市的投放量與使用的情況,有人作了抽樣調(diào)查,抽取年齡在二十至五十歲的不同性別的騎行者,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:

男性

女性

合計

20~35歲

40

100

36~50歲

40

90

合計

100

90

190

(1)求統(tǒng)計數(shù)據(jù)表中的值;

(2)假設(shè)用抽到的100名20~35歲年齡的騎行者作為樣本估計全市的該年齡段男女使用“DD共享單車”情況,現(xiàn)從全市的該年齡段騎行者中隨機(jī)抽取3人,求恰有一名女性的概率;

(3)根據(jù)以上列聯(lián)表,判斷使用“DD共享單車”的人群中,能否有的把握認(rèn)為“性別”與“年齡”有關(guān),并說明理由.

參考數(shù)表:

參考公式: , .

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