Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若在上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)若，求證： 有唯一零點(diǎn)的充要條件是.

Answer 1

【答案】（1）；(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）討論兩種情況，當(dāng) 時(shí)，不是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由， 在為單調(diào)遞增函數(shù)，從而可得結(jié)果；(2) 當(dāng)時(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)有唯一零點(diǎn)，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，用反證法可證明只有合題意.

試題解析：（1）

當(dāng)a>0時(shí)，由得

當(dāng)時(shí)， ， 為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ， 為單調(diào)減函數(shù)，

所以在上不為單調(diào)函數(shù)

當(dāng)時(shí)，由， 在為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以實(shí)數(shù)得取值范圍是。

(2)充分性：當(dāng)時(shí)， ，

令得

當(dāng)時(shí)， ， 為單調(diào)增函數(shù)，所以

當(dāng)時(shí)， ， 為單調(diào)減函數(shù)，所以

所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)

必要性：設(shè)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值

記，所以

令得

當(dāng)時(shí)， ， 為單調(diào)減函數(shù)，

即

因?yàn)?/span>，且，

所以在內(nèi)有零點(diǎn)，與題意相矛盾。

當(dāng)時(shí)，同理有

因?yàn)?/span>，存在- ，有

所以在內(nèi)有零點(diǎn)，與題意相矛盾。

故

綜上， 有唯一零點(diǎn)的充要條件是。