Question

【題目】如圖，四棱錐中，是等邊三角形，底面是直角梯形，，，，，，分別是，的中點(diǎn).

（1）①求證：平面；

②求線段的長(zhǎng)度；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②；（2）.

【解析】

（1）①通過證明面面，再利用面面平行的性質(zhì)得證；②由余弦定理求解即可；

（2）法一：作出圖象，設(shè)到平面的距離設(shè)為，利用等體積法求出，進(jìn)而可得直線與平面所成角的正弦值為．

法二：利用面面垂直的判定定理可證出平面平面，建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量法，求出直線與平面所成角的正弦值.

解：（1）①證明：取中點(diǎn)，

則，，

∵，，

∴平面平面，

∴平面.

②由①可知：

，，，

由余弦定理得到：

.

（2）解法一：∵，，

∴，

又，，

∴平面，

∴平面平面，

延長(zhǎng)到，使得，

則面，，

∵，，

∴，

∵是的中點(diǎn)，.

到平面的距離設(shè)為，

體積法求得：

，

∴，

∴.

解法二：∵，，

∴，

又，，

∴平面，

∴平面平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，得到

，，，

延長(zhǎng)到，使得，

則面，，

則，，

∴，由于，，

則法向量，

∴直線與平面所成角的正弦值為.