Question

過(guò)圓x²+y²=16內(nèi)一點(diǎn)P的最短弦長(zhǎng)為2

7

，且到直線3x+4y-20=0的距離為1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

(

9

5

，

12

5

)

．

Answer 1

分析：利用垂徑定理得到直徑OP垂直于過(guò)點(diǎn)P最短的弦，由圓的半徑及弦長(zhǎng)的一半，利用勾股定理求出弦心距，即為圓心O到P的距離，設(shè)P的坐標(biāo)為（a，b），利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于a與b的方程，記作①，再由P到直線3x+4y-20=0的距離為1，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a與b的另一個(gè)方程，記作②，聯(lián)立①②組成方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出P的坐標(biāo)．

解答：解：由圓x²+y²=16，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=4，
又圓內(nèi)過(guò)P最短弦長(zhǎng)為2

7

，
∴|OP|=

42-( 2 7 2 )2

=3，
設(shè)P（a，b），則有a²+b²=9①，
又點(diǎn)P到直線3x+4y-20=0的距離為1，
∴

|3a+4b-20|

32+42

=1②，
聯(lián)立①②解得：

a= 9 5 b= 12 5

，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

9

5

，

12

5

）．
故答案為：（

9

5

，

12

5

）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，以及二元一次方程組的解法，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．