Question

過圓x²+y²=16內(nèi)一點P的最短弦長為，且到直線3x+4y-20=0的距離為1，則點P的坐標是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用垂徑定理得到直徑OP垂直于過點P最短的弦，由圓的半徑及弦長的一半，利用勾股定理求出弦心距，即為圓心O到P的距離，設(shè)P的坐標為（a，b），利用兩點間的距離公式列出關(guān)于a與b的方程，記作①，再由P到直線3x+4y-20=0的距離為1，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于a與b的另一個方程，記作②，聯(lián)立①②組成方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出P的坐標．
解答：解：由圓x²+y²=16，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=4，
又圓內(nèi)過P最短弦長為2，
∴|OP|==3，
設(shè)P（a，b），則有a²+b²=9①，
又點P到直線3x+4y-20=0的距離為1，
∴=1②，
聯(lián)立①②解得：，
則點P的坐標為（，）．
故答案為：（，）
點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，以及二元一次方程組的解法，當直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點，由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．