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已知函數f（x）＝x（x＋a）－lnx，其中a為常數.

（1）求f（x）的單調區(qū)間；

（2）過坐標原點可以坐幾條直線與曲線y＝f（x）相切？說明理由.

 

（1）f（x）在區(qū)間內單調遞減，在內單調遞增；（2）一條

【解析】試題分析：（1）求出導函數，利用導函數值的符號判定單調區(qū)間，注意對參數a的討論；（2）設出切點，用參數表示出切線方程，再根據切線過原點，求出參數值，有幾個不同的參數值，就有幾條切線.

試題解析：（1）函數f（x）的定義域為（0,＋∞） 1分

由得 2分

，（舍去）. 1分

所以f（x）在區(qū)間內單調遞減，在內單調遞增. 2分

（2）設切點，則切線方程為 1分

因為過原點，所以，化簡得（※）. 1分

設，則，

所以h（t）在區(qū)間（0,＋∞）內單調遞增. 2分

又h（1）＝0，故方程（※）有唯一實根t＝1， 2分

從而滿足條件的切線只有一條. 1分

考點：利用導數研究函數性質，導數的幾何意義

 

練習冊系列答案
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