設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．點(diǎn)P（a，b）滿足|PF2|=|F1F2|．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若直線PF2與圓（x+1）2+(y-
3
)2=16相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=
5
8
|AB|，求橢圓的方程．
（Ⅰ）設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）    （c＞0）．
由題得|PF2|=|F1F2|，即
(a-c)2+b2
=2c，整理得2(
c
a
)2+
c
a
-1=0，得
c
a
=-1（舍），或
c
a
=
1
2
，
所以e=
1
2
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=
3
c，可得橢圓方程為3x2+4y2=12c2，直線方程PF2為y=
3
（x-c）．
A，B的坐標(biāo)滿足方程組
3x2+4y2=12c2
y=
3
(x-c)
，
消y并整理得5x2-8xc=0，
解得x=0，x=
8
5
c，得方程組的解為
x=0
y=-
3
c，
x=
8
5
c
y=
3
3
5
c
，
不妨設(shè)A（
8
5
c，
3
3
5
c），B（0，-
3
c）．
所以|AB|=
(
8
5
)2+(
3
3
c
5
+
3
c) 2
=
16
5
c，于是|MN|=
5
8
|AB|=2c．
圓心（-1，
3
）到直線PF2的距離d=
|-
3
-
3
-
3
c|
2
，
因?yàn)閐2+(
|MN|
2
)2=42，所以
3
4
（2+c）2+c2=16，整理得c=-
26
7
（舍）或c=2．
所以橢圓方程為
x2
16
+
y2
12
=1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點(diǎn)，C，原點(diǎn)O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|．
（Ⅰ）證明a=
2
b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命題成立：設(shè)圓x2+y2=t2上任意點(diǎn)M（x0，y0）處的切線交橢圓于Q1，Q2兩點(diǎn)，則OQ1⊥OQ2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的動(dòng)點(diǎn)Q，過(guò)動(dòng)點(diǎn)Q作橢圓的切線l，過(guò)右焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為P，則點(diǎn)P的軌跡方程為（　�。�
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)P是橢圓
x2a2
+y2=1   (a＞1)短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•即墨市模擬）設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，右焦點(diǎn)為F（c，0），方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P（x1，x2）（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)-1＜a＜-
1
2
，則橢圓
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1的離心率的取值范圍是（　�。�

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