Question

對于數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n，若滿足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”。定義變換T，T將"0-1數(shù)列"A中原有的每個(gè)1都變成0，1，原有的每個(gè)0都變成1，0；例如A：1，0，1，則T（A）：0，1，1，0，0，1。設(shè)A₀是"0-1數(shù)列"，令A(yù)_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…，
(Ⅰ)若數(shù)列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，求數(shù)列A₁，A₀；
(Ⅱ)若數(shù)列A₀共有10項(xiàng)，則數(shù)列A₂中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對至少有多少對？請說明理由；
(Ⅲ)若A₀為0，1，記數(shù)列A_k中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對個(gè)數(shù)為l_k，k=1，2，3，…，求l_k關(guān)于k的表達(dá)式。

Answer 1

解：(Ⅰ)由變換T的定義可得A₁：0，1，1，0，0，1；
A₀：1，0，1； 
(Ⅱ)數(shù)列A₀中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對至少有10對；
證明：對于任意一個(gè)“0-1數(shù)列”A₀，A₀中每一個(gè)1在A₂中對應(yīng)連續(xù)四項(xiàng)1，0，0，1，在A₀中每一個(gè)0在A₂中對應(yīng)的連續(xù)四項(xiàng)為0，1，1，0，
因此，共有10項(xiàng)的“0-1數(shù)列”A₀中的每一個(gè)項(xiàng)在A₂中都會(huì)對應(yīng)一個(gè)連續(xù)相等的數(shù)對，
所以A₂中至少有10對連續(xù)相等的數(shù)對。
(Ⅲ) 設(shè)A_k中有b_k個(gè)01數(shù)對，
A_k+1中的00數(shù)對只能由A_k中的01數(shù)對得到，所以，
A_k+1中的01數(shù)對有兩個(gè)產(chǎn)生途徑：①由A_k中的1得到；②由A_k中00得到，
由變換T的定義及A₀：0，1可得A_k中0和1的個(gè)數(shù)總相等，且共有個(gè)，
所以，
所以，
由A₀：0，1可得A₁：1，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1，
所以；
當(dāng)k≥3時(shí)，
若k為偶數(shù)，，
，
…
，
上述各式相加可得，
經(jīng)檢驗(yàn)，k=2時(shí)，也滿足；
若k為奇數(shù)，，
，
…
，
上述各式相加可得，
經(jīng)檢驗(yàn)，k=1時(shí)，也滿足；
所以。