Question

對于數(shù)列A：a₁，a₂，a₃(a_i∈N，i＝1，2，3)，定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i＝|a_i－a_i+1|(i＝1，2)，且b₃＝|a₃－a₁|．這種“T變換”記作B＝T(A)．繼續(xù)對數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C：c₁，c₂，c₃，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時變換結(jié)束．

(Ⅰ)試問A：2，6，4經(jīng)過不斷的“T變換”能否結(jié)束？若能，請依次寫出經(jīng)過“T變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；

(Ⅱ)設(shè)A：a₁，a₂，a₃，B＝T(A)．若B：b，2，a(a≥b)，且B的各項(xiàng)之和為2012．

(ⅰ)求a，b；

(ⅱ)若數(shù)列B再經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；…． 　　以下重復(fù)出現(xiàn)，所以不會出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形．3分 　　(Ⅱ)解：(ⅰ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0178/0020/35ab932109f209ac5e735e694c3e2368/C/Image184.gif" width=16 HEIGHT=17>的各項(xiàng)之和為，且，所以為的最大項(xiàng)， 　　所以最大，即，或．5分 　　當(dāng)時，可得 　　由，得，即，故；7分 　　當(dāng)時，同理可得，；8分 　　(ⅱ)方法一：由，則經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列分別為：；；；；；． 　　由此可見，經(jīng)過次“變換”后得到的數(shù)列也是形如“”的數(shù)列，與數(shù)列“結(jié)構(gòu)”完全相同，但最大項(xiàng)減少12． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0178/0020/35ab932109f209ac5e735e694c3e2368/C/Image210.gif" width=121 height=18>， 　　所以，數(shù)列經(jīng)過次“變換”后得到的數(shù)列為． 　　接下來經(jīng)過“變換”后得到的數(shù)列分別為：；；；；；；，…… 　　從以上分析可知，以后重復(fù)出現(xiàn)，所以數(shù)列各項(xiàng)和不會更�。� 　　所以經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)和最小，的最小值為；13分 　　方法二：若一個數(shù)列有三項(xiàng)，且最小項(xiàng)為，較大兩項(xiàng)相差，則稱此數(shù)列與數(shù)列“結(jié)構(gòu)相同”． 　　若數(shù)列的三項(xiàng)為，則無論其順序如何，經(jīng)過“變換”得到的數(shù)列的三項(xiàng)為(不考慮順序)． 　　所以與結(jié)構(gòu)相同的數(shù)列經(jīng)過“變換”得到的數(shù)列也與結(jié)構(gòu)相同，除外其余各項(xiàng)減少，各項(xiàng)和減少． 　　因此，數(shù)列經(jīng)過次“變換”一定得到各項(xiàng)為(不考慮順序)的數(shù)列． 　　通過列舉，不難發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)為的數(shù)列，無論順序如何，經(jīng)過“變換”得到的數(shù)列會重復(fù)出現(xiàn)，各項(xiàng)和不再減少． 　　所以，至少通過次“變換”，得到的數(shù)列各項(xiàng)和最小，故的最小值為；13分