Question

函數(shù)f（x）=

x+1 x2+4x+7

的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求函數(shù)的定義域，再討論x+1是否為零，從而分離常數(shù)及基本不等式法求值域．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

x+1 x2+4x+7

的定義域為{x|x≥-1}；
則當(dāng)x=-1時，f（-1）=0；
當(dāng)x＞-1時，
f（x）=

x+1 x2+4x+7

=

x+1 (x+1)2+2(x+1)+4

=

1 x+1+ 4 x+1 +2

；
∵x+1+

4

x+1

≥4；
（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立）
∴

1 x+1+ 4 x+1 +2

≤

1 6

=

6

6

；
故函數(shù)f（x）=

x+1 x2+4x+7

的值域為[0，

6

6

]；
故答案為；[0，

6

6

]．

點評：本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．