Question

已知關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-1|≤4m²+

1

m

對(duì)m＞0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-1|≤4m²+

1

m

對(duì)m＞0恒成立，即為|x+1|+|x-1|≤（4m²+

1

m

）_min，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷右邊函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到極小值也為最小值，再由解絕對(duì)值不等式的方法，即可解得．

解答： 解：關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-1|≤4m²+

1

m

對(duì)m＞0恒成立，
即為|x+1|+|x-1|≤（4m²+

1

m

）_min，
由于4m²+

1

m

的導(dǎo)數(shù)為8m-

1

m2

，當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)遞增，
當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)遞減，則m=

1

2

，取得極小值也為最小值，
且為3，
即有|x+1|+|x-1|≤3，
當(dāng)x≥1時(shí)，由2x≤3，解得，x≤

3

2

，則有1≤x≤

3

2

；
當(dāng)x≤-1時(shí)，由-x-1+1-x≤3，解得，x≥-

3

2

，則有-

3

2

≤x≤-1；
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，由-x-1+1-x≤3即有0≤3成立，則有-1＜x＜1．
故實(shí)數(shù)x的取值范圍是[-

3

2

，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查絕對(duì)值不等式的解法，屬于中檔題．