Question

【題目】某經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)規(guī)劃要修建一地下停車(chē)場(chǎng)，停車(chē)場(chǎng)橫截面是如圖所示半橢圓形AMB，其中AP為2百米，BP為4百米，，M為半橢圓上異于A，B的一動(dòng)點(diǎn)，且面積最大值為平方百米，如圖建系．

求出半橢圓弧的方程；

若要將修建地下停車(chē)場(chǎng)挖出的土運(yùn)到指定位置P處，N為運(yùn)土點(diǎn)，以A,B為出口，要使運(yùn)土最省工，工程部需要指定一條分界線，請(qǐng)求出分界線所在的曲線方程；

若在半橢圓形停車(chē)場(chǎng)的上方修建矩形商場(chǎng)，矩形的一邊CD與AB平行，設(shè)百米，試確定t的值，使商場(chǎng)地面的面積最大．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）在直角三角形PAB中，由已知結(jié)合勾股定理得AB．設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）．由已知列式求得a，b，則橢圓方程可求；

（2）由于N到P的路程相等，可得NA+AP＝NB+BP，即NA﹣NB＝2＜AB，得N在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上，設(shè)雙曲線方程為（m＞0，n＞0），則，解得m，n的值，則雙曲線方程可求；

（3）由CD＝2t，設(shè)D（t，s）（s＞0），則．求得s，則商場(chǎng)地面積為y＝2ts＝2t．然后利用基本不等式求最值．

在直角三角形PAB中，，，

由勾股定理得：．

設(shè)橢圓方程為．

由題意得，解得，．

橢圓弧的方程為；

由點(diǎn)N到P的路程相等，，即．

得，在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上，

設(shè)雙曲線方程為，

則，解得，．

雙曲線方程為；

由，設(shè)，則．

，

商場(chǎng)地面積為y＝2ts＝2t．

，，

則．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立．

當(dāng)時(shí)，商場(chǎng)地面的面積最大為平方百米．