已知f(x)=log2
1-x
1+x
(-1<x<1)
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并加以證明;
(2)若a,b∈(-1,1),證明:f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)
;
(3)證明對任意常數(shù)k∈R,f(x)=k有且僅有一解.
(1)f(-x)=log2
1+(-x)
1-(-x)
=log2
1-x
1+x
=log2(
1+x
1-x
)-1=-log2
1+x
1-x
=-f(x)

又x∈(-1,1),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
(2)若a、b∈(-1,1),f(a)+f(b)=lg
1-a
1+a
+lg
1-b
1+b
=lg
1-a-b+ab
1+a+b+ab
,
f(
a+b
1+ab
)=lg
1-
a+b
1+ab
1+
a+b
1+ab
=lg
1+ab-a-b
1+ab+a+b
,∴f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
).
(3)設(shè)-1<x<1,△x=x2-x1>0,△y=f(x2)-f(x1)=log2
1+x2
1-x2
-log2
1+x1
1-x1
=log2
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)

因為1-x1>1-x2>0;1+x2>1+x1>0所以
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
>1

所以 △y=log2
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
>0
所以函數(shù) f(x)=log2
1+x
1-x
在(-1,1)上是增函數(shù).
從而對任意常數(shù)k∈R,f(x)=k有且僅有一解.
練習(xí)冊系列答案
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已知f(x)=
log 4 x ,x>0
1
2
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,則f(f(-4))的值為( 。

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已知f(x)=
log 4 x ,x>0
1
2
 ) x ,x≤0
,則f(f(-4))的值為(  )
A.0B.2C.4D.8

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