已知雙曲線的中心為原點,左、右焦點分別為、,離心率為,點是直線上任意一點,點在雙曲線上,且滿足.
(1)求實數(shù)的值;
(2)證明:直線與直線的斜率之積是定值;
(3)若點的縱坐標(biāo)為,過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點、,在線段上去異于點、的點,滿足,證明點恒在一條定直線上.
(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)雙曲線的離心率列方程求出實數(shù)的值;(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,利用條件確定與、之間的關(guān)系,再結(jié)合點在雙曲線上這一條件,以及斜率公式來證明直線與直線的斜率之積是定值;(3)證法一是先設(shè)點、的坐標(biāo)分別為、,結(jié)合(2)得到,,引入?yún)?shù),利用轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的條件,利用坐標(biāo)運算得到點的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式,進(jìn)而證明點恒在定直線上;證法二是設(shè)直線的方程為,將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理,將條件進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化為,結(jié)合韋達(dá)定理化簡為,最后利用點在直線上得到,從而消去得到
,進(jìn)而證明點恒在定直線上.
試題解析:(1)根據(jù)雙曲線的定義可得雙曲線的離心率為,由于,解得,
故雙曲線的方程為;
(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,易知點,
則,,
,因此點的坐標(biāo)為,
故直線的斜率,直線的斜率為,
因此直線與直線的斜率之積為,
由于點在雙曲線上,所以,所以,
于是有
(定值);
(3)證法一:設(shè)點 且過點的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點、,由(2)知,,,
設(shè),則,即,
整理得,
由①③,②④得,,
將,,代入⑥得,⑦,
將⑦代入⑤得,即點恒在定直線上;
證法二:依題意,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,
由,
消去得,
因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點、,
則有,
設(shè)點,由,得,
整理得,
將②③代入上式得,
整理得,④
因為點在直線上,所以,⑤
聯(lián)立④⑤消去得,所以點恒在定直線.
考點:1.雙曲線的離心率;2.向量的坐標(biāo)運算;3.斜率公式;4.韋達(dá)定理
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)七十三第十章第十節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
關(guān)于線性回歸,以下說法錯誤的是( )
(A)自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系
(B)在平面直角坐標(biāo)系中用描點的方法得到的表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖
(C)線性回歸直線方程最能代表觀測值x,y之間的關(guān)系,且其回歸直線一定過樣本中心點(,)
(D)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A,B兩變量的線性相關(guān)性作試驗,并由回歸分析法分別求得相關(guān)系數(shù)rxy如下表
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
rxy | 0.82 | 0.78 | 0.69 | 0.85 |
則甲同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)A,B兩變量更強(qiáng)的線性相關(guān)性
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高中數(shù)學(xué)全國各省市理科導(dǎo)數(shù)精選22道大題練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù),,函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸.
(1)確定與的關(guān)系;
(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)證明:對任意,都有成立。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年陜西省咸陽市高考模擬考試(一)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若展開式中存在常數(shù)項,則n的值可以是( 。
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年廣東省廣州市畢業(yè)班綜合測試一理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,是圓的切線,切點為點,直線與圓交于、兩點,的角平分線交弦、于、兩點,已知,,則的值為 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年廣東省廣州市畢業(yè)班綜合測試一理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè)、、為整數(shù),若和被除得余數(shù)相同,則稱和對模同余,記.若,且,則的值可以為( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年廣東省廣州市畢業(yè)班綜合測試一文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
一個四棱錐的底面為菱形,其三視圖如圖所示,則這個四棱錐的體積是 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年(安徽專用)高考數(shù)學(xué)(文)仿真模擬卷1練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
拋物線y=x2上的點到直線x+y+1=0的最短距離為________.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com