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某企業(yè)有兩個生產車間分別在A、B兩個位置，A車間有100名員工，B車間有400名員工，現(xiàn)要在公路AC上找一點D，修一條公路BD，并在D處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意兩點間的距離均是1km，設∠BDC=α，所有員工從車間到食堂步行的總路程為S．
（1）寫出S關于α的函數表達式，并指出α的取值范圍；
（2）問食堂D建在距離A多遠時，可使總路程S最少？
【答案】分析：（1）在△BCD中先利用正弦定理求得BD，和CD的表達式，進而表示出AD，則總路程S與α的關系可得．
（2）對函數S進行求導，令S'=0求得cosα的值，進而根據導函數判斷函數的單調性的方法，可推斷出當時，當和當函數的單調性和函數的最小值，進而求得總路程最小時AD的長．
解答：解：（1）在△BCD中，∵，
∴，．
則．
，其中．

（2）
令S'=0，得．
當時，S'＜0，S是α的單調減函數；
當時，S'＞0，S是α的單調增函數．
∴當時，S取得最小值．
此時，，
=．
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．考查了學生分析問題和解決實際問題的能力．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

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（1）寫出S關于α的函數表達式，并指出α的取值范圍；
（2）問食堂D建在距離A多遠時，可使總路程S最少？

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年福建省三明市畢業(yè)班5月質量檢查理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

某企業(yè)有兩個生產車間，分別位于邊長是的等邊三角形的頂點處（如圖），現(xiàn)要在邊上的點建一倉庫，某工人每天用叉車將生產原料從倉庫運往車間，同時將成品運回倉庫．已知叉車每天要往返車間5次，往返車間20次，設叉車每天往返的總路程為.（注：往返一次即先從倉庫到車間再由車間返回倉庫）

(Ⅰ）按下列要求確定函數關系式：

①設長為，將表示成的函數關系式；

②設，將表示成的函數關系式.

(Ⅱ）請你選用(Ⅰ）中一個合適的函數關系式，求總路程 的最小值，并指出點的位置．

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年江蘇省南京市白下區(qū)高三二模數學試卷 題型：解答題

（本小題滿分15分）

某企業(yè)有兩個生產車間分別在A，B兩個位置，A車間有100名員工，B車間有400名員工，現(xiàn)要在公路AC上找一點D，修一條公路BD，并在D處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，已知A，B，C中任意兩點間的距離均有1 km，設∠BDC＝，所有員工從車間到食堂步行的總路程為S．

（1）寫出S關于的函數表達式，并指出的取值范圍；

（2）問食堂D建在距離A多遠時，可使總路程S最少？

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分15分）

某企業(yè)有兩個生產車間分別在A，B兩個位置，A車間有100名員工，B車間有400名員工，現(xiàn)要在公路AC上找一點D，修一條公路BD，并在D處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，已知A，B，C中任意兩點間的距離均有1 km，設∠BDC＝，所有員工從車間到食堂步行的總路程為S．

（1）寫出S關于的函數表達式，并指出的取值范圍；

（2）問食堂D建在距離A多遠時，可使總路程S最少？

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江蘇省蘇州市五市三區(qū)高三（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

某企業(yè)有兩個生產車間分別在A、B兩個位置，A車間有100名員工，B車間有400名員工，現(xiàn)要在公路AC上找一點D，修一條公路BD，并在D處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意兩點間的距離均是1km，設∠BDC=α，所有員工從車間到食堂步行的總路程為S．
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