Question

某企業(yè)有兩個(gè)生產(chǎn)車間分別在A、B兩個(gè)位置，A車間有100名員工，B車間有400名員工，現(xiàn)要在公路AC上找一點(diǎn)D，修一條公路BD，并在D處建一個(gè)食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離均是1km，設(shè)∠BDC=α，所有員工從車間到食堂步行的總路程為S．
（1）寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并指出α的取值范圍；
（2）問食堂D建在距離A多遠(yuǎn)時(shí)，可使總路程S最少？

Answer 1

【答案】分析：（1）在△BCD中先利用正弦定理求得BD，和CD的表達(dá)式，進(jìn)而表示出AD，則總路程S與α的關(guān)系可得．
（2）對(duì)函數(shù)S進(jìn)行求導(dǎo)，令S'=0求得cosα的值，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，可推斷出當(dāng)時(shí)，當(dāng)和當(dāng)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最小值，進(jìn)而求得總路程最小時(shí)AD的長(zhǎng)．
解答：解：（1）在△BCD中，∵，
∴，．
則．
，其中．

（2）
令S'=0，得．
當(dāng)時(shí)，S'＜0，S是α的單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，S'＞0，S是α的單調(diào)增函數(shù)．
∴當(dāng)時(shí)，S取得最小值．
此時(shí)，，
=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力．