Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右準(zhǔn)線為，離心率為．若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，以線段為直徑作圓.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓與軸相切，求圓被直線截得的線段長(zhǎng).

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先根據(jù)題中的條件確定、的值，然后利用求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）先確定點(diǎn)的坐標(biāo)，求出圓的方程，然后利用點(diǎn)（圓心）到直線的距離求出弦心距，最后利用勾股定理求出直線截圓所得的弦長(zhǎng).
試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意知，，解得，
則，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為             5分
（2）由題意可知，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且位于軸正半軸，
又圓與軸相切，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021656404659.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，               7分
代入橢圓的方程，可得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021656451391.png" style="vertical-align:middle;" />，解得，               10分
所以圓的圓心為，半徑為，其方程為            12分
因?yàn)閳A心到直線的距離              14分
故圓被直線截得的線段長(zhǎng)為             16分