【題目】設(shè)函數(shù)，已知曲線在點處的切線與直線平行

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由。

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)（表示中的較小者），求的最大值。

【答案】(1) .

(2) 時，方程在內(nèi)存在唯一的根.證明見解析.

(3) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得；（Ⅱ）求出的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最值，由零點存在定理，即可判斷存在；（Ⅲ）由（Ⅱ）求得的解析式，通過的最大值，即可得到所求．

試題解析：（Ⅰ）由題意知，曲線在點處的切線斜率為，所以，

又所以．

（Ⅱ）時，方程在內(nèi)存在唯一的根．

設(shè)

當(dāng)時， ．

又

所以存在，使．

因為所以當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

所以當(dāng)時， 單調(diào)遞增．

所以時，方程在內(nèi)存在唯一的根．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在內(nèi)存在唯一的根，且時， ， 時， ，所以．

當(dāng)時，若

若由可知故

當(dāng)時，由可得時， 單調(diào)遞增； 時， 單調(diào)遞減；

可知且．

綜上可得函數(shù)的最大值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某城市實施了機動車尾號限行，該市報社調(diào)查組為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機抽查了50人，將調(diào)查情況進行整理后制成下表：

年齡（歲）

[15，25)

[25，35)

[35，45)

[45，55)

[55，65)

[65，75]

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

4

6

9

6

3

4

（Ⅰ）請估計該市公眾對“車輛限行”的贊成率和被調(diào)查者的年齡平均值；

（Ⅱ）若從年齡在[15，25)，[25，35)的被調(diào)查者中各隨機選取兩人進行追蹤調(diào)查，記被選4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）若在這50名被調(diào)查者中隨機發(fā)出20份的調(diào)查問卷，記為所發(fā)到的20人中贊成“車輛限行”的人數(shù)，求使概率取得最大值的整數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=exsinx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對于任意的 ，f（x）≥kx恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+excosx， ，過點 作函數(shù)F（x）的圖象的所有切線，令各切點的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列{xn}，求數(shù)列{xn}的所有項之和的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）當(dāng)時，函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖像只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)據(jù)顯示，某公司2018年上半年五個月的收入情況如下表所示：

月份

2

3

4

5

6

月收入（萬元）

1.4

2.56

5.31

11

21.3

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在建立該公司2018年月收入（萬元）與月份的函數(shù)模型時，給出兩個函數(shù)模型與供選擇.

（1）你認(rèn)為哪個函數(shù)模型較好，并簡單說明理由；

（2）試用你認(rèn)為較好的函數(shù)模型，分析大約從第幾個月份開始，該公司的月收入會超過100萬元？（參考數(shù)據(jù)，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校的學(xué)生文娛團隊由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如表所示：

組別

文科

理科

性別

男生

女生

男生

女生

人數(shù)

3

1

3

2

學(xué)校準(zhǔn)備從該文娛團隊中選出4人到某社區(qū)參加大型公益活動演出，每選出一名男生，給其所在的組記1分；每選出一名女生，給其所在的組記2分，要求被選出的4人中文科組和理科組的學(xué)生都有．
（I）求理科組恰好得4分的概率；
（II）記文科組的得分為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】美國對中國芯片的技術(shù)封鎖，這卻激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的，兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬元，公司獲得毛收入千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖像如圖所示.

（1）試分別求出生產(chǎn)，兩種芯片的毛收入（千萬元）與投入資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果公司只生產(chǎn)一種芯片，生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？

（3）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時生產(chǎn)，兩種芯片，設(shè)投入千萬元生產(chǎn)芯片，用表示公司所過利潤，當(dāng)為多少時，可以獲得最大利潤？并求最大利潤.（利潤芯片毛收入芯片毛收入研發(fā)耗費資金）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某賓館有間標(biāo)準(zhǔn)相同的客房，客房的定價將影響入住率.經(jīng)調(diào)查分析，得出每間客房的定價與每天的入住率的大致關(guān)系如下表：

每間客房的定價

220元

200元

180元

160元

每天的入住率

對于每間客房，若有客住，則成本為80元；若空閑，則成本為40元.要使此賓館每天的住房利潤最高，則每間客房的定價大致應(yīng)為（ ）

A. 220元 B. 200元 C. 180元 D. 160元

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（12分）

（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，求在上的最大值和最小值.

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同步練習(xí)冊答案