已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a,且不等式f(x)>2x的解集為(-1,3).
(1)若函數(shù)g(x)=xf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=-1時,證明方程f(x)=2x3-1僅有一個實數(shù)根;
(3)當(dāng)x∈[0,1]時,試討論|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要條件.
(1)(-∞,-1](2)見解析(3)-5≤a<0
【解析】(1)∵f(x)-2x>0的解集為(-1,3),
∴可設(shè)f(x)-2x=a(x+1)(x-3),且a<0,
因而f(x)=a(x+1)(x-3)+2x=ax2+2(1-a)x-3a①
g(x)=xf(x)=ax3+2(1-a)x2-3ax,
∵g(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
∴g′(x)=3ax2+4(1-a)x-3a在上的函數(shù)值非正,
由于a<0,對稱軸x=>0,故只需g′a(1-a)-3a≤0,注意到a<0,∴a2+4(1-a)-9≥0,得a≤-1或a≥5(舍去).
故所求a的取值范圍是(-∞,-1].
(2)a=-1時,方程f(x)=2x3-1僅有一個實數(shù)根,即證方程2x3+x2-4x-4=0僅有一個實數(shù)根.令h(x)=2x3+x2-4x-4,由h′(x)=6x2+2x-4=0,得x1=-1,x2=,易知h(x)在(-∞,-1),上遞增,在上遞減,h(x)的極大值h(-1)=-1<0,故函數(shù)h(x)的圖象與x軸僅有一個交點,∴a=-1時,方程f(x)=2x3-1僅有一個實數(shù)根,得證.
(3)設(shè)r(x)=f(x)+(2a-1)x+3a+1=ax2+x+1,r(0)=1,對稱軸為x=-,
由題意,得或
解出-5≤a<0,
故使|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要條件是-5≤a<0
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某班的全體學(xué)生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是________.
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若-9,a,-1成等差數(shù)列,-9,m,b,n,-1成等比數(shù)列,則ab=________.
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如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,則sin C的值為________.
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已知鈍角α滿足cos α=-,則tan的值為________.
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若a>1,設(shè)函數(shù)f(x)=ax+x-4的零點為m,函數(shù)g(x)=logax+x-4的零點為n,則+的最小值為________.
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若函數(shù)f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍是______.
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下面四個圖象中,有一個是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)圖象,則f(-1)等于________.
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