已知函數(shù),
(其中
).
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有兩個零點,求正實數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)求證:當
時,
.(說明:e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
(Ⅰ)極小值為,無極大值(Ⅱ)
(Ⅲ)問題等價于
.由(Ⅰ)知
的最小值為
.設(shè)
,
得
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.∴
,
∵=
,∴
,∴
,故當
時,
解析試題分析:(Ⅰ),
∴(
,
),
由,得
,由
,得
,
故函數(shù)在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)的極小值為
,無極大值. 4分
(Ⅱ)函數(shù),
則,
令,∵
,解得
,或
(舍去),
當時,
,
在
上單調(diào)遞減;
當時,
,
在
上單調(diào)遞增.
函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有兩個零點,
只需即
∴
故實數(shù)a的取值范圍是. 9分
(Ⅲ)問題等價于.由(Ⅰ)知
的最小值為
.
設(shè),
得
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
∴,
∵=
,
∴,∴
,故當
時,
. 14分
考點:函數(shù)極值最值
點評:求函數(shù)極值最值都需要首先找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,第二問將函數(shù)存在零點轉(zhuǎn)化為最值邊界值的范圍,第三問將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題,這兩種轉(zhuǎn)化是函數(shù)綜合題中經(jīng)?嫉降
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f (x)=x3+(1-a)x2-3ax+1,a>0.
(Ⅰ) 證明:對于正數(shù)a,存在正數(shù)p,使得當x∈[0,p]時,有-1≤f (x)≤1;
(Ⅱ) 設(shè)(Ⅰ)中的p的最大值為g(a),求g(a)的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(1)已知函數(shù)y=ln(-x2+x-a)的定義域為(-2,3),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)已知函數(shù)y=ln(-x2+x-a)在(-2,3)上有意義,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≤0時,f(x)=2x+x2.
(1)求x>0時,f(x)的解析式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=2a2+a有三個不同的解,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)在
與
時都取得極值
(1)求的值與函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間
(2)若對,不等式
恒成立,求
的取值范圍。
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