【題目】已知函數(shù)f(x)=( + )x3(a>0且a≠1).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性;
(3)求a的取值范圍,使f(x)>0在定義域上恒成立.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=( + )x3(a>0且a≠1).
由于ax﹣1≠0,
則ax≠1,
∴x≠0,
故得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R,且x≠0}.
(2)對于定義域內(nèi)任意的x,有
f(﹣x)=( )(﹣x)3= = = =f(x)
∴f(x)是偶函數(shù).
(3)①當(dāng)a>1時(shí),對x>0,
∴ax>1,即ax﹣1>0,
∴ + >0.
又x>0時(shí),x3>0,
f(x)= >0.
即 a>1時(shí),f(x)>0.
由(2)知,f(x)是偶函數(shù),即f(﹣x)=f(x),
則當(dāng)x<0時(shí),﹣x>0,有f(﹣x)=f(x)>0成立.
綜上可知,當(dāng)a>1時(shí),f(x)>0在定義域上恒成立.
②當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)=
當(dāng)x>0時(shí),0<ax<1,此時(shí)f(x)<0,不滿足題意;
當(dāng)x<0時(shí),﹣x>0,有f(﹣x)=f(x)<0,也不滿足題意.
綜上可知,所求a的取值范圍是a>1.
即a的取值范圍為(1,+∞).
【解析】(1)根據(jù)分母不為零可求出函數(shù)的定義域即可。(2)由奇偶性的定義判斷即可。(3)對a分情況討論,再根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)求出滿足題意的函數(shù)的取值范圍進(jìn)而得到a的取值范圍
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)的定義域時(shí),一般遵循以下原則:①是整式時(shí),定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí),定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí),定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí),底數(shù)須大于零且不等于1,零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零;偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為( )
甲 | 乙 | 原料限額 | |
A(噸) | 3 | 2 | 12 |
B(噸) | 1 | 2 | 8 |
A.12萬元
B.16萬元
C.17萬元
D.18萬元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≤﹣1時(shí),f(x)=x+b,且f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣2,0),在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)為(0,2),過點(diǎn)(﹣1,1)的一段拋物線.
(1)試求出f(x)的表達(dá)式;
(2)求出f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若滿足①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù),②存在[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b],那么y=f(x)叫做閉函數(shù),現(xiàn)有f(x)= +k是閉函數(shù),那么k的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工科院校對A,B兩個(gè)專業(yè)的男女生人數(shù)進(jìn)行調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:
專業(yè)A | 專業(yè)B | 總計(jì) | |
女生 | 12 | 4 | 16 |
男生 | 38 | 46 | 84 |
總計(jì) | 50 | 50 | 100 |
(Ⅰ)從B專業(yè)的女生中隨機(jī)抽取2名女生參加某項(xiàng)活動(dòng),其中女生甲被選到的概率是多少?
(Ⅱ)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下,認(rèn)為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)系呢?
注: .
P(K2≥k) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.025 |
k | 1.323 | 2.072 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,其中a為常數(shù),
(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(2)若函數(shù)f(x)在(2,5)上有意義,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn , 首項(xiàng)為a1 , 且 ,an , Sn成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn=(log2a3n+1)×(log2a3n+4),求證: + + +…+ < .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)a>0,集合 ,集合B={x||2x﹣1|>5}.
(1)求集合A、B;
(2)若A∩B≠,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,PD⊥平面ABCD,DC⊥AD,BC∥AD,PD:DC:BC=1:1: .
(1)若AD=DC,求異面直線PA,BC所成的角;
(2)求PB與平面PDC所成角大小;
(3)求二面角D﹣PB﹣C的正切值.
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