Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對于x∈（0，+∞）都有成立，試求m的取值范圍；

（3）記g（x）＝f（x）+x﹣n﹣3．當(dāng)m＝1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e﹣1，e]上有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在（0，2m）內(nèi)單調(diào)遞減，在（2m，+）內(nèi)單調(diào)遞增； （2）（，+）； （3）.

【解析】

（1）首先對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，求得自變量的值，從而判斷出導(dǎo)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值來處理，結(jié)合第一問的結(jié)果，判斷出函數(shù)的最小值點(diǎn)，從而求得函數(shù)的最小值，得到結(jié)果；

（3）將代入函數(shù)解析式，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)問題，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，求得結(jié)果.

（1），（，）.

令，解得.

可得：函數(shù)在（0，2m）內(nèi)單調(diào)遞減，在（2m，+）內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）對于（0，+）都有成立（0，+），

由（1）可得：時，函數(shù)取得最小值，

.

化為：，，解得.

∴m的取值范圍是（，+）.

（3）記.

當(dāng)時，函數(shù).

函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)函數(shù)與函數(shù)有兩個不同交點(diǎn)，.

可知：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

時，函數(shù)取得最小值，.

由，.

而.

.

.

即n的取值范圍是.