【題目】已知數(shù)集A={a1 , a2…an}(0≤a1<a2…<an , n≥2)具有性質P;對任意的 i,j(1≤i≤j≤n),ai+aj與aj﹣ai兩數(shù)中至少有一個屬于A.
(1)分別判斷數(shù)集{0,1,3,4}與{0,2,3,6}是否具有性質P,并說明理由;
(2)證明:a1=0,且nan=2(a1+a2+a+..+an)
(3)當n=5時若 a2=2,求集合A.
【答案】
(1)解:由于0+1,0+2,0+3,0+4,1+3,4﹣1,4﹣3,都屬于數(shù)集{0,1,3,4},
∴該數(shù)集具有性質P.
由于2+3與3﹣2均不屬于數(shù)集{0,2,3,6},∴該數(shù)集不具有性質P
(2)證明:令j=n,i>1,則∵“ai+aj與aj﹣ai兩數(shù)中至少有一個屬于A”,
∴ai+aj不屬于A,∴an﹣ai屬于A.
令i=n﹣1,那么an﹣an﹣1是集合A中某項,a1不行,是0,a2可以.
如果是a3或者a4,那么可知an﹣a3=an﹣1,那么an﹣a2>an﹣a3=an﹣1,只能是等于an了,矛盾.
所以令i=n﹣1可以得到an=a2+an﹣1,
同理,令i=n﹣2、n﹣3,…,2,可以得到an=ai+an+1﹣i,
∴倒序相加即可得到a1+a2+a3+…+an= an.
即nan=2(a1+a2+a+..+an)
(3)解:當 n=5時,取j=5,當i≥2時,ai+a5>a5,
由A具有性質P,a5﹣ai∈A,又i=1時,a5﹣a1∈A,
∴a5﹣ai∈A,i=1,2,3,4,5
∵0=a1<a2<a3<a4<a5,∴a5﹣a1>a5﹣a2>a5﹣a3>a5﹣a4>a5﹣a5=0,
則a5﹣a1=a5,a5﹣a2=a4,a5﹣a3=a3,
從而可得a2+a4=a5,a5=2a3,故a2+a4=2a3,即0<a4﹣a3=a3﹣a2<a3,
又∵a3+a4>a2+a4=a5,∴a3+a4A,則a4﹣a3∈A,則有a4﹣a3=a2=a2﹣a1.
又∵a5﹣a4=a2=a2﹣a1,∴a5﹣a4=a4﹣a3=a3﹣a2=a2﹣a1=a2,
即a1,a2,a3,a4,a5是首項為0,公差為a2=2等差數(shù)列,
∴A={0,2,4,6,8}
【解析】(1)利用ai+aj與aj﹣ai兩數(shù)中至少有一個屬于A.即可判斷出結論.(2)令j=n,i>1,由“ai+aj與aj﹣ai兩數(shù)中至少有一個屬于A”,可得an﹣ai屬于A.令i=n﹣1,那么an﹣an﹣1是集合A中某項,a1不行,是0,a2可以.同理可得:令i=n﹣1可以得到an=a2+an﹣1 , 令i=n﹣2、n﹣3,…,2,可以得到an=ai+an+1﹣i , 倒序相加即可得到.(3)當 n=5時,取j=5,當i≥2時,ai+a5>a5 , 由A具有性質P,a5﹣ai∈A,又i=1時,a5﹣a1∈A,可得a5﹣ai∈A,i=1,2,3,4,5,a5﹣a1>a5﹣a2>a5﹣a3>a5﹣a4>a5﹣a5=0,則a5﹣a1=a5 , a5﹣a2=a4 , a5﹣a3=a3 , 又a3+a4>a2+a4=a5 , 可得a3+a4A,則a4﹣a3∈A,則有a4﹣a3=a2=a2﹣a1 . 可得a1 , a2 , a3 , a4 , a5是首項為0,公差為a2=2等差數(shù)列.
【考點精析】認真審題,首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知關于x的不等式x2﹣ax﹣2>0的解集為{x|x<﹣1或x>b}(b>﹣1).
(1)求a,b的值;
(2)當m>﹣ 時,解關于x的不等式(mx+a)(x﹣b)>0.
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【題目】已知f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),且f(x)+g(x)=2log2(1﹣x).
(1)求f(x)及g(x)的解析式;
(2)求g(x)的值域.
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【題目】已知f(n)=2n+1(n∈N*),集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},記f(A)={n|f(n)∈A},f(B)={m|f(m)∈B},f(A)∩f(B)=( )
A.{1,2}
B.{1,2,3}
C.{3,5}
D.{3,5,7}
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【題目】給出下列四個命題:
①已知M={(x,y)| =3},N={(x,y)|ax+2y+a=0}且M∩N=,則a=﹣6;
②已知點A(x1 , y1),B(x2 , y2),則以AB為直徑的圓的方程是(x﹣x1)(x﹣x2)+(y﹣y1)(y﹣y2)=0;
③ =1(a≠b)表示焦點在x軸上的橢圓;
④已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦AB的兩端點坐標分別為A(x1 , y2),B(x2 , y2),則 =﹣4
其中的真命題是 . (把你認為是真命題的序號都填上)
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【題目】如圖四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2 ,BC=4 ,PA=2,點M在線段PD上.
(1)求證:AB⊥PC.
(2)若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°,求BM與平面PAC所成的角的正弦值.
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【題目】已知點P是曲線C: ﹣y2=1上的任意一點,直線l:x=2與雙曲線C的漸近線交于A,B兩點,若 =λ +μ ,(λ,μ∈R,O為坐標原點),則下列不等式恒成立的是( )
A.λ2+μ2≥
B.λ2+μ2≥2
C.λ2+μ2≤
D.λ2+μ2≤2
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【題目】記函數(shù)f(x)= 的定義域為集合A,則函數(shù)g(x)= 的定義域為集合B,
(1)求A∩B和A∪B
(2)若C={x|p﹣2<x<2p+1},且CA,求實數(shù)p的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=tx,(x∈R).
(1)若t=ax+b,a,b∈R,且﹣1≤f(﹣1)≤2,2≤f(1)≤4,求點(a,b)的集合表示的平面區(qū)域的面積;
(2)若t=2+ ,(x<1且x≠0),求函數(shù)f(x)的最大值;
(3)若t=x﹣a﹣3(a∈R),不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f(x)≤a+4(b,c∈R)的解集為[﹣1,5],求b,c的值.
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